Пункт а. Ключевое наблюдение

Посмотрим на угол слева и на углы справа:

\[2x + \dfrac{\pi}{7} = x + \left(x + \dfrac{\pi}{7}\right).\]

Важно! Вот и весь фокус задачи. Непривычное число \(\dfrac{\pi}{7}\) пугает, но его вообще не нужно вычислять: достаточно увидеть, что левый угол — это сумма двух углов, которые уже стоят в правой части.

Раскрываем косинус суммы:

\[\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{7}\right) = \cos x\cos\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right) - \sin x\sin\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right).\]

А справа по формуле приведения \(\sin(x + \pi) = -\sin x\). Уравнение становится таким:

\[\cos x\cos\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right) - \sin x\sin\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right) = -\sin x + \cos x\cos\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right).\]

Одинаковые слагаемые \(\cos x\cos\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right)\) стоят в обеих частях — они взаимно уничтожаются:

\[-\sin x\sin\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right) = -\sin x.\]

Разложение на множители

Умножим на \(-1\) и соберём всё слева:

\[\sin x\sin\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right) - \sin x = 0,\qquad \sin x\left(\sin\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right) - 1\right) = 0.\]

Важно! Опять вынесение общего множителя, а не сокращение на \(\sin x\). Если сократить, потеряется целая серия \(x = \pi k\) — а в пункте б именно она даёт два корня из трёх.

Первый множитель:

\[\sin x = 0,\qquad x = \pi k.\]

Второй множитель:

\[\sin\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right) = 1,\qquad x + \dfrac{\pi}{7} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\]

\[x = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{7} + 2\pi k = \dfrac{7\pi - 2\pi}{14} + 2\pi k = \dfrac{5\pi}{14} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Напомним, что \(\sin t = 1\) даёт ровно одну серию: единицы синус достигает в единственной точке окружности.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \([0;\ \pi]\) — это верхняя половина окружности, ровно полоборота.

Серия \(x = \pi k\): подходят \(k = 0\) и \(k = 1\), то есть \(x = 0\) и \(x = \pi\). Значение \(x = -\pi\) левее нуля, \(x = 2\pi\) правее \(\pi\).

Серия \(x = \dfrac{5\pi}{14} + 2\pi k\): при \(k = 0\) получаем \(\dfrac{5\pi}{14}\), и это число лежит внутри отрезка, ведь \(0 < \dfrac{5}{14} < 1\). Соседние значения отличаются на \(2\pi\) — они далеко за пределами отрезка длины \(\pi\).

Важно! Оба конца отрезка оказались корнями. Скобки квадратные, значит и \(0\), и \(\pi\) идут в ответ. Проверка для \(x = \pi\): \(\sin\pi = 0\), и равенство обращается в верное тождество.

Ответ: а) \(\pi k;\ \dfrac{5\pi}{14} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(0;\ \dfrac{5\pi}{14};\ \pi\)