Пункт а. Раскрываем косинус суммы

\[\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos x\cos\dfrac{\pi}{4} - \sin x\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x - \sin x\right),\]

\[2\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x - \sin x\right) = 2\left(\cos x - \sin x\right).\]

Уравнение принимает вид

\[\sin 2x - 1 + 2\left(\cos x - \sin x\right) = 0.\]

Главный приём: полный квадрат

Выражение \(\cos x - \sin x\) уже появилось — попробуем «увидеть» его и в первых двух слагаемых. Возведём его в квадрат:

\[\left(\cos x - \sin x\right)^2 = \cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x = 1 - \sin 2x.\]

Значит \(\sin 2x - 1 = -\left(\cos x - \sin x\right)^2\). Обозначим \(u = \cos x - \sin x\) — всё уравнение выражается через \(u\):

\[-u^2 + 2u = 0,\qquad u\left(u - 2\right) = 0,\qquad u = 0\ \text{или}\ u = 2.\]

Проверяем, какие значения u вообще возможны

Свернём \(u\) во вспомогательный угол:

\[u = \cos x - \sin x = \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x\right) = \sqrt{2}\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right).\]

Косинус не выходит за пределы \([-1;\,1]\), поэтому \(|u| \le \sqrt{2} \approx 1{,}41\). Значение \(u = 2\) недостижимо.

Важно! Эту оценку нужно написать обязательно. Решение, в котором корень \(u = 2\) просто «пропал» без объяснения, считается неполным. Достаточно одной строчки: \(|\cos x - \sin x| \le \sqrt{2} < 2\).

Остаётся u = 0

\[\cos x - \sin x = 0,\qquad \cos x = \sin x.\]

Косинус здесь не равен нулю (иначе и синус был бы нулём, что невозможно), поэтому

\[\operatorname{tg} x = 1,\qquad x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-7\pi;\ -\dfrac{11\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Точка \(-7\pi\) лежит слева на окружности, конец \(-\dfrac{11\pi}{2}\) — вверху.

Переводим в четверти \(\pi\):

\[-7\pi = -\dfrac{28\pi}{4},\qquad -\dfrac{11\pi}{2} = -\dfrac{22\pi}{4}.\]

Корни \(x = \dfrac{(1 + 4k)\pi}{4}\), нужно \(-28 \le 1 + 4k \le -22\), то есть \(-29 \le 4k \le -23\):

\[k = -7:\ -\dfrac{27\pi}{4};\qquad k = -6:\ -\dfrac{23\pi}{4}.\]

Соседи \(-\dfrac{31\pi}{4}\) и \(-\dfrac{19\pi}{4}\) остаются за пределами отрезка.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{27\pi}{4};\ -\dfrac{23\pi}{4}\)