Пункт а. Раскрываем обе скобки

Правая скобка — формула приведения:

\[\sin(\pi - x) = \sin x.\]

Левая — синус суммы:

\[\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin x\cos\dfrac{\pi}{4} + \cos x\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x + \cos x\right).\]

Подставляем:

\[2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x + \cos x\right) - 2\sqrt{2}\sin x = 0,\]

\[\sqrt{2}\left(\sin x + \cos x\right) = 2\sqrt{2}\sin x.\]

Делим обе части на \(\sqrt{2}\):

\[\sin x + \cos x = 2\sin x,\qquad \cos x = \sin x.\]

Переходим к тангенсу

Если бы \(\cos x\) был равен нулю, то из равенства \(\cos x = \sin x\) и синус оказался бы нулём — а вместе они в ноль не обращаются, ведь \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Значит \(\cos x \neq 0\), и делить на него можно:

\[\operatorname{tg} x = 1,\qquad x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Два момента, за которые снимают баллы. Первый — деление на \(\cos x\) без проверки, что он не равен нулю (одна строчка рассуждения выше решает вопрос). Второй — период: у тангенса он равен \(\pi\), а не \(2\pi\).

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): начинаем в левой точке окружности и идём против часовой стрелки до верхней.

Переводим в четверти \(\pi\):

\[3\pi = \dfrac{12\pi}{4},\qquad \dfrac{9\pi}{2} = \dfrac{18\pi}{4}.\]

Корни имеют вид \(x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k = \dfrac{(1 + 4k)\pi}{4}\), значит нужно \(12 \le 1 + 4k \le 18\), то есть \(11 \le 4k \le 17\):

\[k = 3:\ \dfrac{13\pi}{4};\qquad k = 4:\ \dfrac{17\pi}{4}.\]

Соседние значения \(\dfrac{9\pi}{4}\) и \(\dfrac{21\pi}{4}\) в отрезок не попадают. На рисунке обе найденные точки лежат на одном диаметре — так и должно быть, ведь период тангенса \(\pi\) — это ровно полоборота.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{13\pi}{4};\ \dfrac{17\pi}{4}\)