Пункт а. Собираем правую часть в один синус

Перенесём косинус направо:

\[2\sin 3x = \sqrt{3}\sin x + \cos x.\]

Справа — сумма синуса и косинуса одного угла. Такую сумму всегда можно свернуть в один синус (метод вспомогательного угла). Вынесем за скобку число \(\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 1^2} = 2\):

\[\sqrt{3}\sin x + \cos x = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x\right).\]

Числа \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\dfrac{1}{2}\) — это \(\cos\dfrac{\pi}{6}\) и \(\sin\dfrac{\pi}{6}\), поэтому в скобке стоит синус суммы:

\[2\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{6} + \cos x\sin\dfrac{\pi}{6}\right) = 2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right).\]

Уравнение становится совсем простым:

\[2\sin 3x = 2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right),\qquad \sin 3x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right).\]

Две серии из равенства синусов

Важно! Равенство \(\sin\alpha = \sin\beta\) даёт две серии: \(\alpha = \beta + 2\pi n\) и \(\alpha = \pi - \beta + 2\pi n\). Синус принимает одно и то же значение в двух точках окружности, симметричных относительно вертикальной оси. Потерять вторую серию — самая частая ошибка в таких задачах.

Первая серия:

\[3x = x + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\qquad 2x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\qquad x = \dfrac{\pi}{12} + \pi n.\]

Вторая серия:

\[3x = \pi - \left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) + 2\pi n,\qquad 4x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\qquad x = \dfrac{5\pi}{24} + \dfrac{\pi n}{2}.\]

Важно! При делении на \(2\) и на \(4\) период тоже делится: было \(2\pi n\) — стало \(\pi n\) и \(\dfrac{\pi n}{2}\). Если оставить период \(2\pi n\), половина (а во второй серии — три четверти) корней потеряется.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]\) — это правая половина окружности, ровно полоборота.

Переведём всё в двадцать четвёртые доли \(\pi\) — это общий знаменатель для обеих серий:

\[-\dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{12\pi}{24},\qquad \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{12\pi}{24}.\]

Первая серия: \(x = \dfrac{\pi}{12} + \pi n = \dfrac{(2 + 24n)\pi}{24}\). Нужно \(-12 \le 2 + 24n \le 12\): годится только \(n = 0\), то есть \(x = \dfrac{\pi}{12}\).

Вторая серия: \(x = \dfrac{5\pi}{24} + \dfrac{\pi n}{2} = \dfrac{(5 + 12n)\pi}{24}\). Нужно \(-12 \le 5 + 12n \le 12\):

\[n = 0:\ \dfrac{5\pi}{24}\ —\ \text{подходит};\qquad n = -1:\ -\dfrac{7\pi}{24}\ —\ \text{подходит};\]

\[n = 1:\ \dfrac{17\pi}{24}\ (17 > 12);\qquad n = -2:\ -\dfrac{19\pi}{24}\ (-19 < -12).\]

Обе «промахнувшиеся» точки видны на рисунке слева — светлые, вне голубой дуги. Записываем корни по возрастанию.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{12} + \pi n;\ \dfrac{5\pi}{24} + \dfrac{\pi n}{2},\ n \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{7\pi}{24};\ \dfrac{\pi}{12};\ \dfrac{5\pi}{24}\)