Пункт а. Замена

Заметим, что \(16 = 4^2\), поэтому

\[16^{\sin x} = \left(4^2\right)^{\sin x} = \left(4^{\sin x}\right)^2.\]

Значит уравнение квадратное относительно \(t = 4^{\sin x}\), причём \(t > 0\):

\[t^2 - 6t + 8 = 0,\qquad D = 36 - 32 = 4,\]

\[t_1 = \dfrac{6 + 2}{2} = 4,\qquad t_2 = \dfrac{6 - 2}{2} = 2.\]

Возвращаемся к x

\[4^{\sin x} = 4 \;\Longrightarrow\; \sin x = 1;\]

\[4^{\sin x} = 2:\quad 2^{\,2\sin x} = 2^1 \;\Longrightarrow\; 2\sin x = 1 \;\Longrightarrow\; \sin x = \dfrac{1}{2}.\]

Важно! \(\sin x = 1\) даёт одну серию \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), а не две: единицы синус достигает в единственной точке окружности. Писать здесь «\(\pm\)» — ошибка.

\[x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\qquad x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\qquad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-5\pi;\ -\dfrac{7\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): начинаем слева (точка \(-5\pi\) лежит там же, где \(\pi\)) и идём против часовой стрелки до верха окружности.

В шестых долях \(\pi\): \(-5\pi = -\dfrac{30\pi}{6}\), \(-\dfrac{7\pi}{2} = -\dfrac{21\pi}{6}\). Числители трёх серий — это \(3,\ 1,\ 5\) и далее с шагом \(12\). Ищем те, что лежат между \(-30\) и \(-21\):

\[\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k = \dfrac{(3 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{21\pi}{6} = -\dfrac{7\pi}{2}\ —\ \text{подходит (это конец отрезка)};\]

\[\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{23\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{19\pi}{6}\ (-19 > -21),\quad k = -3 \to -\dfrac{31\pi}{6}\ (-31 < -30).\]

Третья серия в отрезок не попадает — на рисунке её точка светлая.

Важно! Конец отрезка \(-\dfrac{7\pi}{2}\) сам оказался корнем. Скобки квадратные, значит его обязательно включаем в ответ. Проверка: \(\sin\left(-\dfrac{7\pi}{2}\right) = 1\), и \(16 - 6\cdot 4 + 8 = 0\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\ \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{7\pi}{2};\ -\dfrac{23\pi}{6}\)