Пункт а. Две формулы приведения

Обе функции в показателях упрощаются:

\[\sin(x + \pi) = -\sin x,\qquad \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x.\]

Одно основание

Слева основание \(\dfrac{1}{49} = 49^{-1} = 7^{-2}\), значит

\[\left(\dfrac{1}{49}\right)^{-\sin x} = \left(7^{-2}\right)^{-\sin x} = 7^{\,2\sin x}.\]

Уравнение принимает вид

\[7^{\,2\sin x} = 7^{\,2\sqrt{3}\cos x}.\]

Основания одинаковые, функция \(y = 7^{t}\) строго возрастает — значит равны показатели:

\[2\sin x = 2\sqrt{3}\cos x,\qquad \sin x = \sqrt{3}\cos x.\]

Переходим к тангенсу

Проверим, может ли \(\cos x = 0\). Если \(\cos x = 0\), то из равенства получаем и \(\sin x = 0\), а одновременно синус и косинус в ноль не обращаются (\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)). Значит \(\cos x \neq 0\), и на него можно поделить:

\[\operatorname{tg} x = \sqrt{3},\qquad x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Деление на \(\cos x\) допустимо только после явной проверки, что \(\cos x \neq 0\). Одна строчка рассуждения — и приём становится законным.

Важно! Период тангенса равен \(\pi\), а не \(2\pi\). Записать \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\) — значит потерять половину корней.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right]\) длины \(\dfrac{3\pi}{2}\) начинается слева и заканчивается вверху окружности.

Переводим в трети \(\pi\):

\[3\pi = \dfrac{9\pi}{3},\qquad \dfrac{9\pi}{2} = \dfrac{27\pi}{6} = \dfrac{13{,}5\,\pi}{3}.\]

Корни имеют вид \(x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k = \dfrac{(1 + 3k)\pi}{3}\). Нужно \(9 \le 1 + 3k \le 13{,}5\):

\[k = 3:\ \dfrac{10\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\qquad k = 4:\ \dfrac{13\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\]

\[k = 2:\ \dfrac{7\pi}{3}\ —\ \text{левее начала};\qquad k = 5:\ \dfrac{16\pi}{3}\ —\ \text{правее конца}.\]

Обе точки серии, попавшие на дугу, лежат на одном диаметре — это видно на рисунке: тангенс повторяется через половину оборота.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{10\pi}{3};\ \dfrac{13\pi}{3}\)