Пункт а. Формула приведения и замена

\[\sin(x + \pi) = -\sin x,\]

поэтому второе слагаемое — это

\[16^{-\sin x} = \dfrac{1}{16^{\sin x}}.\]

Обозначим \(t = 16^{\sin x}\), причём \(t > 0\) как значение показательной функции:

\[t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{17}{4}.\]

Умножаем на \(4t\):

\[4t^2 - 17t + 4 = 0,\qquad D = 289 - 64 = 225,\qquad \sqrt{D} = 15,\]

\[t_1 = \dfrac{17 + 15}{8} = 4,\qquad t_2 = \dfrac{17 - 15}{8} = \dfrac{1}{4}.\]

Оба значения положительны, оба годятся.

Возвращаемся к x

Приводим к основанию 2 (\(16 = 2^4\)):

\[2^{\,4\sin x} = 2^2 \;\Longrightarrow\; 4\sin x = 2 \;\Longrightarrow\; \sin x = \dfrac{1}{2};\]

\[2^{\,4\sin x} = 2^{-2} \;\Longrightarrow\; 4\sin x = -2 \;\Longrightarrow\; \sin x = -\dfrac{1}{2}.\]

Важно! Здесь нет лишних проверок вида «\(|\sin x| \le 1\)» — оба значения по модулю меньше единицы. Но привычку проверять стоит сохранять: в аналогичных заданиях вместо \(\dfrac{17}{4}\) может стоять число, дающее \(\sin x = 2\).

\[x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\qquad x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): от низа окружности против часовой стрелки до левой точки.

В шестых долях \(\pi\) концы отрезка — это \(\dfrac{9\pi}{6}\) и \(\dfrac{18\pi}{6}\), а четыре точки серий дают числители \(1,\ 5,\ 7,\ 11\) и далее с шагом \(12\). Между \(9\) и \(18\) попадают

\[\dfrac{11\pi}{6},\qquad \dfrac{13\pi}{6},\qquad \dfrac{17\pi}{6}.\]

Числитель \(19\) уже больше \(18\), числитель \(7\) меньше \(9\) — эта точка на рисунке светлая, она лежит вне дуги.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{11\pi}{6};\ \dfrac{13\pi}{6};\ \dfrac{17\pi}{6}\)