Пункт а. Приводим показатели к одной величине

В показателях стоят две разные тригонометрические функции. Свяжем их формулой косинуса двойного угла:

\[\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.\]

Теперь обе степени выразим через основание 2, обозначив \(s = \sin^2 x\):

\[16^{\sin^2 x} = 2^{4s},\qquad 4^{\cos 2x} = 2^{\,2(1 - 2s)} = 2^{\,2 - 4s}.\]

Подставляем в уравнение и сворачиваем множители \(8 = 2^3\) и \(2 = 2^1\):

\[2^3\cdot 2^{4s} - 2^1\cdot 2^{\,2-4s} = 63,\qquad 2^{\,3 + 4s} - 2^{\,3 - 4s} = 63.\]

Замена

Пусть \(w = 2^{4s}\). Тогда \(2^{\,3+4s} = 8w\), а \(2^{\,3-4s} = \dfrac{8}{w}\):

\[8w - \dfrac{8}{w} = 63.\]

Важно! Отметим границы для \(w\): \(s = \sin^2 x \in [0;\,1]\), поэтому \(w = 2^{4s} \in [1;\,16]\). В частности \(w > 0\) — это разрешает умножить обе части на \(w\).

\[8w^2 - 63w - 8 = 0,\qquad D = 63^2 + 4\cdot 8\cdot 8 = 3969 + 256 = 4225,\qquad \sqrt{D} = 65,\]

\[w_1 = \dfrac{63 + 65}{16} = 8,\qquad w_2 = \dfrac{63 - 65}{16} = -\dfrac{1}{8}.\]

Отрицательный корень отбрасываем. Остаётся \(w = 8\):

\[2^{4s} = 2^3,\qquad 4s = 3,\qquad \sin^2 x = \dfrac{3}{4}.\]

Возвращаемся к x

\[\sin x = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]

Это четыре точки на окружности — по две на каждый знак:

\[x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\qquad x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Все четыре точки лежат на окружности через равные промежутки \(\dfrac{\pi}{3}\), поэтому ответ можно записать и одной серией \(x = \pm\dfrac{\pi}{3} + \pi k\). Для отбора в пункте б удобнее помнить именно «четыре точки».

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]\) длины \(\dfrac{3\pi}{2}\) начинается внизу окружности и заканчивается слева.

В шестых долях \(\pi\): \(\dfrac{7\pi}{2} = \dfrac{21\pi}{6}\), \(5\pi = \dfrac{30\pi}{6}\). А наши четыре точки в шестых долях — это числители \(2,\ 4,\ 8,\ 10\) (и дальше с шагом \(12\)). Выписываем все, что попали между \(21\) и \(30\):

\[\dfrac{22\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{3},\qquad \dfrac{26\pi}{6} = \dfrac{13\pi}{3},\qquad \dfrac{28\pi}{6} = \dfrac{14\pi}{3}.\]

Следующий кандидат \(\dfrac{32\pi}{6}\) уже больше \(\dfrac{30\pi}{6}\), предыдущий \(\dfrac{20\pi}{6}\) — меньше \(\dfrac{21\pi}{6}\). Четвёртая точка серии (на рисунке светлая) лежит на «пустом» куске окружности.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\ \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{11\pi}{3};\ \dfrac{13\pi}{3};\ \dfrac{14\pi}{3}\)