Пункт а. Убираем корень

По основному тригонометрическому тождеству \(1 - \sin^2 x = \cos^2 x\), поэтому

\[\sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|.\]

Важно! Именно модуль, а не \(\cos x\): арифметический корень неотрицателен, а косинус бывает отрицательным. Запись \(\sqrt{\cos^2 x} = \cos x\) — грубая ошибка, из-за которой уравнение решается неверно.

Уравнение принимает вид

\[49^{-|\cos x|} - 49^{\cos x} = -\dfrac{48}{7}.\]

Модуль раскрываем по знаку косинуса — разбираем два случая.

Случай 1: cos x < 0

Тогда \(|\cos x| = -\cos x\), а значит \(-|\cos x| = \cos x\), и левая часть обращается в ноль:

\[49^{\cos x} - 49^{\cos x} = 0 \neq -\dfrac{48}{7}.\]

В этом случае корней нет.

Случай 2: cos x ≥ 0

Тогда \(|\cos x| = \cos x\), и уравнение становится таким:

\[49^{-\cos x} - 49^{\cos x} = -\dfrac{48}{7}.\]

Сделаем замену \(u = 49^{\cos x}\). Так как \(\cos x \ge 0\), то и \(u \ge 49^0 = 1\). При этом \(49^{-\cos x} = \dfrac{1}{u}\):

\[\dfrac{1}{u} - u = -\dfrac{48}{7}.\]

Умножаем обе части на \(7u\) (это допустимо: \(u \ge 1 > 0\)):

\[7 - 7u^2 = -48u,\qquad 7u^2 - 48u - 7 = 0.\]

\[D = 48^2 + 4\cdot 7\cdot 7 = 2304 + 196 = 2500,\qquad \sqrt{D} = 50,\]

\[u_1 = \dfrac{48 + 50}{14} = 7,\qquad u_2 = \dfrac{48 - 50}{14} = -\dfrac{1}{7}.\]

Корень \(u_2\) отрицателен — он не подходит под ограничение \(u \ge 1\). Остаётся \(u = 7\):

\[49^{\cos x} = 7,\qquad 7^{\,2\cos x} = 7^1,\qquad 2\cos x = 1,\qquad \cos x = \dfrac{1}{2}.\]

Условие случая \(\cos x \ge 0\) выполнено. Итак,

\[x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]\) — три четверти оборота: начинаем сверху окружности (точка \(\dfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\)) и идём против часовой стрелки до \(4\pi\).

Переводим концы и серии в шестые доли \(\pi\) (это удобно, ведь \(\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{6}\)):

\[\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{15\pi}{6},\qquad 4\pi = \dfrac{24\pi}{6}.\]

\[x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(2 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{14\pi}{6}\ (14 < 15),\quad k = 2 \to \dfrac{26\pi}{6}\ (26 > 24)\ —\ \text{мимо};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(-2 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{22\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{3}\ —\ \text{подходит}.\]

Обратите внимание, насколько близко прошла первая серия: \(\dfrac{14\pi}{6}\) всего на \(\dfrac{\pi}{6}\) левее начала отрезка. На рисунке это та самая светлая точка — она лежит на «пустом» куске окружности.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{11\pi}{3}\)