Пункт а. Одно основание

Слева «степень в степени»: при возведении степени в степень показатели перемножаются, \(\left(a^{m}\right)^{n} = a^{mn}\). Значит

\[\left(25^{\cos x}\right)^{\sin x} = 25^{\sin x\cos x}.\]

Теперь заметим, что \(25 = 5^2\), и приведём левую часть к основанию 5:

\[25^{\sin x\cos x} = \left(5^2\right)^{\sin x \cos x} = 5^{\,2\sin x\cos x} = 5^{\sin 2x},\]

здесь в конце применена формула синуса двойного угла \(2\sin x\cos x = \sin 2x\). Уравнение приняло вид

\[5^{\sin 2x} = 5^{\sqrt{2}\,\sin x}.\]

Важно! Функция \(y = 5^{t}\) строго возрастает, поэтому равным значениям отвечают равные показатели. Именно монотонность разрешает «снять» основания — это стоит написать одной фразой.

\[\sin 2x = \sqrt{2}\,\sin x.\]

Разложение на множители

Раскроем синус двойного угла и перенесём всё влево:

\[2\sin x\cos x - \sqrt{2}\,\sin x = 0,\qquad \sin x\left(2\cos x - \sqrt{2}\right) = 0.\]

Важно! Ни в коем случае не делим обе части на \(\sin x\)! Так теряется целая серия корней \(x = \pi k\), а это сразу минус балл даже при верном оформлении остального. Общий множитель всегда выносим, а не сокращаем.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[\sin x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pi k;\]

\[\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \;\Longrightarrow\; x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Его начало \(2\pi\) — правая точка окружности, дальше против часовой стрелки до \(\dfrac{7\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{3\pi}{2}\) — это низ окружности.

Переводим всё в четверти \(\pi\):

\[2\pi = \dfrac{8\pi}{4},\qquad \dfrac{7\pi}{2} = \dfrac{14\pi}{4}.\]

Числитель должен лежать между \(8\) и \(14\).

\[x = \pi k = \dfrac{4k\pi}{4}:\quad k = 2 \to 2\pi\ (8),\quad k = 3 \to 3\pi\ (12)\ —\ \text{оба подходят};\quad k = 4 \to 4\pi\ (16)\ —\ \text{мимо};\]

\[x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 8k)\pi}{4}:\quad k = 1 \to \dfrac{9\pi}{4}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{(-1 + 8k)\pi}{4}:\quad k = 1 \to \dfrac{7\pi}{4}\ (7 < 8),\quad k = 2 \to \dfrac{15\pi}{4}\ (15 > 14)\ —\ \text{мимо оба раза}.\]

Важно! Концы отрезка входят в него (скобки квадратные), поэтому значение \(x = 2\pi\) — полноценный корень, его нельзя выбрасывать. Проверка: \(\sin 2\pi = 0\), левая часть \(\left(25^{1}\right)^{0} = 1\), правая \(5^{0} = 1\) — равенство верное.

Ответ: а) \(\pi k;\ \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(2\pi;\ \dfrac{9\pi}{4};\ 3\pi\)