Пункт а. Снимаем корни

Слева и справа стоят арифметические квадратные корни. Равенство \(\sqrt{A} = \sqrt{B}\) равносильно системе

\[\begin{cases}A = B,\\ B \ge 0.\end{cases}\]

Важно! Достаточно потребовать неотрицательность одного подкоренного выражения: если \(A = B\) и \(B \ge 0\), то автоматически и \(A \ge 0\). Но хотя бы одно условие написать нужно — иначе решение считается неполным.

Записываем систему:

\[\begin{cases}2\sin^2 x + 10\sin x + 2 = \sin x + 7,\\ \sin x + 7 \ge 0.\end{cases}\]

Второе неравенство выполняется всегда: \(\sin x \ge -1\), поэтому \(\sin x + 7 \ge 6 > 0\). Остаётся первое уравнение:

\[2\sin^2 x + 10\sin x + 2 - \sin x - 7 = 0,\qquad 2\sin^2 x + 9\sin x - 5 = 0.\]

Квадратное уравнение относительно синуса

Обозначим \(s = \sin x\), причём \(-1 \le s \le 1\):

\[2s^2 + 9s - 5 = 0,\qquad D = 81 + 40 = 121,\qquad \sqrt{D} = 11,\]

\[s_1 = \dfrac{-9 + 11}{4} = \dfrac{1}{2},\qquad s_2 = \dfrac{-9 - 11}{4} = -5.\]

Важно! Корень \(s = -5\) обязательно нужно отбросить со словами «\(|\sin x| \le 1\)». Это самая частая потеря балла в таких задачах: ученик решает квадратное уравнение и забывает, что синус живёт только на отрезке \([-1;\,1]\).

Остаётся \(\sin x = \dfrac{1}{2}\), откуда

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\qquad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\) — три четверти оборота. Точка \(-3\pi\) лежит там же, где \(\pi\) (левая точка окружности): от неё идём против часовой стрелки и доходим до \(-\dfrac{3\pi}{2}\) — это верх окружности.

Переводим концы отрезка и обе серии в шестые доли \(\pi\):

\[-3\pi = -\dfrac{18\pi}{6},\qquad -\dfrac{3\pi}{2} = -\dfrac{9\pi}{6}.\]

Нужно, чтобы числитель лежал между \(-18\) и \(-9\).

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -1 \to -\dfrac{11\pi}{6}\ —\ \text{подходит}\ (-18 \le -11 \le -9);\]

\[k = -2 \to -\dfrac{23\pi}{6}\ (-23 < -18)\ —\ \text{мимо};\]

\[x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -1 \to -\dfrac{7\pi}{6}\ (-7 > -9),\quad k = -2 \to -\dfrac{19\pi}{6}\ (-19 < -18).\]

Вторая серия в отрезок не попадает совсем: её точки «перепрыгивают» отрезок (на рисунке это светлая незакрашенная точка). Остаётся один корень.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{11\pi}{6}\)