Пункт а. Сводим к одной показательной величине

В показателе второго слагаемого стоит \(\sin(\pi + x)\). Это формула приведения:

\[\sin(\pi + x) = -\sin x.\]

Значит

\[4^{\sin(\pi + x)} = 4^{-\sin x} = \dfrac{1}{4^{\sin x}},\]

и всё уравнение зависит только от одной величины \(4^{\sin x}\). Обозначим её буквой:

\[t = 4^{\sin x}.\]

Важно! Сразу пишем ограничение \(t > 0\): показательная функция принимает только положительные значения. Без этой строчки замена считается необоснованной, и за неё снимают балл, даже если ответ получился верный.

Уравнение превращается в дробно-рациональное:

\[t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2}.\]

Умножим обе части на \(2t\) (это можно: \(t > 0\), значит \(2t \neq 0\)):

\[2t^2 + 2 = 5t,\qquad 2t^2 - 5t + 2 = 0.\]

Дискриминант \(D = 25 - 16 = 9\), \(\sqrt{D} = 3\):

\[t_1 = \dfrac{5 + 3}{4} = 2,\qquad t_2 = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}.\]

Оба корня положительны, оба подходят.

Возвращаемся к переменной x

Чтобы сравнить показатели, приведём всё к основанию 2: \(4 = 2^2\), поэтому \(4^{\sin x} = 2^{2\sin x}\).

\[2^{2\sin x} = 2^1 \;\Longrightarrow\; 2\sin x = 1 \;\Longrightarrow\; \sin x = \dfrac{1}{2};\]

\[2^{2\sin x} = 2^{-1} \;\Longrightarrow\; 2\sin x = -1 \;\Longrightarrow\; \sin x = -\dfrac{1}{2}.\]

Теперь два простейших тригонометрических уравнения. Синус равен \(\dfrac12\) в двух точках окружности, и \(-\dfrac12\) — тоже в двух:

\[\sin x = \dfrac{1}{2}:\quad x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k;\]

\[\sin x = -\dfrac{1}{2}:\quad x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Коротко это записывают так:

\[x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\qquad x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Запись \(x = (-1)^n \arcsin a + \pi n\) тоже верна, но для пункта б она крайне неудобна: приходится отдельно перебирать чётные и нечётные \(n\). Две отдельные серии «\(\alpha + 2\pi k\)» и «\(\pi - \alpha + 2\pi k\)» (или «\(-\alpha + 2\pi k\)») отбираются гораздо спокойнее.

Пункт б. Отбор корней

Длина отрезка \(\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]\) равна \(4\pi - \dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2}\) — это три четверти полного оборота. Точка \(\dfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\) попадает на верх окружности, дальше идём против часовой стрелки и останавливаемся в точке \(4\pi\) (это правая точка, то же место, что \(0\) и \(2\pi\)).

Чтобы ничего не перепутать, переведём и концы отрезка, и все серии в шестые доли \(\pi\):

\[\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{15\pi}{6},\qquad 4\pi = \dfrac{24\pi}{6}.\]

Теперь нужно, чтобы числитель (в шестых долях) лежал между \(15\) и \(24\).

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{13\pi}{6}\ (13 < 15),\quad k = 2 \to \dfrac{25\pi}{6}\ (25 > 24);\]

\[x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{17\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(-5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{19\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(-1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{23\pi}{6}\ —\ \text{подходит}.\]

Больше ни одно значение \(k\) в промежуток \(15 \le \text{числитель} \le 24\) не попадает: соседние значения отличаются на \(12\), и шаг сразу выбрасывает нас наружу.

Важно! Рисунок показывает картину, но сам по себе отбором не считается. Проверяющий ждёт либо неравенство \(\dfrac{5\pi}{2} \le x \le 4\pi\) с найденным целым \(k\), либо перевод в одинаковые доли \(\pi\), как сделано выше. Лучше всего — и рисунок, и строчка с числами.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{17\pi}{6};\ \dfrac{19\pi}{6};\ \dfrac{23\pi}{6}\)