Идея решения

Слева стоит сумма модулей — значит, после раскрытия получится ломаная из трёх прямолинейных кусков с изломами в точках \(x = -1\) и \(x = 1\). На крайних кусках угловые коэффициенты оказываются равны \(-1\) и \(+1\) при любом \(a\), поэтому ветви всегда уходят вверх. Два корня будут ровно тогда, когда самая нижняя точка ломаной окажется под осью.

Шаг 1. Раскрываем модули на трёх промежутках

Обозначим \(f(x) = a|x+1| + (1-a)|x-1| + 2\).

При \(x \leqslant -1\): \(|x+1| = -x-1\), \(|x-1| = 1-x\). Тогда

\[f(x) = a(-x-1) + (1-a)(1-x) + 2 = -x + 3 - 2a.\]

При \(-1 \leqslant x \leqslant 1\): \(|x+1| = x+1\), \(|x-1| = 1-x\). Тогда

\[f(x) = a(x+1) + (1-a)(1-x) + 2 = (2a-1)x + 3.\]

При \(x \geqslant 1\): \(|x+1| = x+1\), \(|x-1| = x-1\). Тогда

\[f(x) = a(x+1) + (1-a)(x-1) + 2 = x + 2a + 1.\]

Важно! Обязательно проверьте стыковку в точках излома — это бесплатный контроль вычислений. Первая формула при \(x = -1\) даёт \(4 - 2a\), вторая — тоже \(4 - 2a\). Вторая при \(x = 1\) даёт \(2a + 2\), третья — тоже \(2a + 2\). Сошлось, значит модули раскрыты правильно.

Шаг 2. Как выглядит ломаная

Слева угловой коэффициент равен \(-1\), справа \(+1\) — от \(a\) они не зависят. Значит, при \(x \to -\infty\) и при \(x \to +\infty\) функция \(f\) стремится к \(+\infty\): обе крайние ветви уходят вверх.

Значения в точках излома:

\[f(-1) = 4 - 2a,\qquad f(1) = 2a + 2.\]

А наклон среднего куска равен \(2a - 1\) — вот он уже от \(a\) зависит, и именно он определяет, в какой из двух точек излома сидит минимум.

Шаг 3. Случай a < 1/2

Тогда \(2a - 1 < 0\): средний кусок убывает. Получается, что \(f\) убывает на всём промежутке \((-\infty;\ 1]\) и возрастает на \([1;\ +\infty)\). Минимум — в точке \(x = 1\):

\[f_{\min} = f(1) = 2a + 2.\]

Ровно два корня ⟺ минимум строго отрицателен:

\[2a + 2 < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a < -1.\]

Это согласуется с условием \(a < \dfrac12\), поэтому получаем \(a < -1\).

Шаг 4. Случай a > 1/2

Теперь \(2a - 1 > 0\): средний кусок возрастает. Функция убывает на \((-\infty;\ -1]\) и возрастает на \([-1;\ +\infty)\). Минимум — в точке \(x = -1\):

\[f_{\min} = f(-1) = 4 - 2a.\]

\[4 - 2a < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a > 2,\]

что согласуется с \(a > \dfrac12\).

Шаг 5. Случай a = 1/2

Средний кусок превращается в горизонтальный отрезок \(f(x) = 3\). Наименьшее значение равно \(3 > 0\), корней нет.

Важно! Граничные значения \(a = -1\) и \(a = 2\) в ответ не входят: там минимум равен нулю, ломаная касается оси, и корень получается ровно один, а не два.

Шаг 6. Собираем

\[a < -1 \quad\text{или}\quad a > 2.\]

Ответ

\[a \in (-\infty;\ -1) \cup (2;\ +\infty).\]

Ответ: \(a \in (-\infty;\ -1) \cup (2;\ +\infty)\)