Идея решения

Уравнение вида \(|A| = B\) раскрывается стандартно: \(B \geqslant 0\) и при этом \(A = B\) либо \(A = -B\). Самое интересное начинается дальше: и \(A - B\), и \(A + B\) после выделения полных квадратов оказываются уравнениями окружностей в плоскости \((x;\ a)\). Задача превращается в геометрическую.

Шаг 1. Раскрываем модуль

Обозначим \(A = x^2 - 7x + a^2 - 5a\) и \(B = x + a\). Тогда

\[|A| = B \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}B \geqslant 0,\\ A = B \ \text{или}\ A = -B.\end{cases}\]

Важно! Условие \(B \geqslant 0\) выписывают сразу и не забывают до самого конца. Модуль неотрицателен, поэтому и правая часть обязана быть неотрицательной — иначе корней просто нет.

Шаг 2. Первое уравнение: A = B

\[x^2 - 7x + a^2 - 5a = x + a \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0.\]

Выделяем полные квадраты:

\[(x-4)^2 - 16 + (a-3)^2 - 9 = 0,\]

\[(x-4)^2 + (a-3)^2 = 25.\]

Это окружность с центром \((4;\ 3)\) и радиусом \(5\).

Шаг 3. Второе уравнение: A = −B

\[x^2 - 7x + a^2 - 5a = -x - a \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 6x + a^2 - 4a = 0,\]

\[(x-3)^2 - 9 + (a-2)^2 - 4 = 0,\]

\[(x-3)^2 + (a-2)^2 = 13.\]

Окружность с центром \((3;\ 2)\) и радиусом \(\sqrt{13}\).

Шаг 4. Условие B ≥ 0

Неравенство \(x + a \geqslant 0\) задаёт полуплоскость, лежащую выше прямой \(x + a = 0\). Всё, что ниже этой прямой, из картинки вычёркивается.

Шаг 5. Замечательное свойство картинки

Найдём, где прямая \(x + a = 0\) пересекает окружности. Подставим \(a = -x\) в первое уравнение:

\[(x-4)^2 + (x+3)^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0\ \text{или}\ x = 1.\]

Теперь во второе:

\[(x-3)^2 + (x+2)^2 = 13 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0\ \text{или}\ x = 1.\]

Получились одни и те же точки: \((0;\ 0)\) и \((1;\ -1)\). Значит, прямая \(x + a = 0\) проходит ровно через обе точки пересечения окружностей.

Важно! Две различные окружности пересекаются не более чем в двух точках. Раз обе найденные точки лежат на обеих окружностях — других общих точек у них нет. Это сразу даёт понять, где корни будут склеиваться.

Шаг 6. Считаем корни при фиксированном a

Фиксируем \(a\) и проводим горизонтальную прямую. Корни \(x\) — это точки пересечения этой прямой с окружностями, лежащие в разрешённой полуплоскости.

Сколько точек даёт каждая окружность. Первая — две точки при \(|a - 3| < 5\), то есть при \(-2 < a < 8\). Вторая — две точки при \(|a - 2| < \sqrt{13}\), то есть при

\[2 - \sqrt{13} < a < 2 + \sqrt{13}.\]

Второе условие строже (\(2-\sqrt{13} \approx -1{,}6\), \(2+\sqrt{13} \approx 5{,}6\)), поэтому оно и работает.

Шаг 7. Когда точки попадают в разрешённую полуплоскость

У первой окружности меньший корень равен \(x = 4 - \sqrt{25 - (a-3)^2}\). Условие \(x + a \geqslant 0\):

\[4 + a \geqslant \sqrt{25 - (a-3)^2}.\]

Возводим в квадрат (левая часть положительна при \(a > -2\)):

\[16 + 8a + a^2 \geqslant 25 - a^2 + 6a - 9 \quad\Longrightarrow\quad 2a^2 + 2a \geqslant 0 \quad\Longrightarrow\quad a(a+1) \geqslant 0,\]

то есть \(a \leqslant -1\) или \(a \geqslant 0\).

Для второй окружности выкладка та же, и условие получается точно такое же:

\[3 + a \geqslant \sqrt{13 - (a-2)^2} \quad\Longrightarrow\quad 2a^2 + 2a \geqslant 0.\]

Это и неудивительно: прямая \(x + a = 0\) режет обе окружности в одних и тех же точках, у которых \(a = 0\) и \(a = -1\).

Значит, при \(-1 < a < 0\) левые точки обеих окружностей уходят под прямую, и корней остаётся только два.

Шаг 8. Отбрасываем склейки

При \(a = 0\) первая окружность даёт \(x = 0\) и \(x = 8\), вторая — \(x = 0\) и \(x = 6\). Корень \(x = 0\) общий, различных корней три.

При \(a = -1\) первая даёт \(x = 1\) и \(x = 7\), вторая — \(x = 1\) и \(x = 5\). Снова общий корень, различных три.

Поэтому обе эти точки из ответа выкалываются.

Шаг 9. Собираем

Четыре различных корня получаются при

\[a \in \left(2 - \sqrt{13};\ 2 + \sqrt{13}\right),\quad \left(a \leqslant -1\ \text{или}\ a \geqslant 0\right),\quad a \neq -1,\ a \neq 0,\]

то есть

\[a \in \left(2 - \sqrt{13};\ -1\right) \cup \left(0;\ 2 + \sqrt{13}\right).\]

Ответ

\[a \in \left(2 - \sqrt{13};\ -1\right) \cup \left(0;\ 2 + \sqrt{13}\right).\]

Ответ: \(a \in \left(2 - \sqrt{13};\ -1\right) \cup \left(0;\ 2 + \sqrt{13}\right)\)