Идея решения

После приведения к общему знаменателю получится обычное квадратное уравнение. Но у исходного уравнения есть два запрета: \(x \neq -3\) и \(x \neq a\). Поэтому «ровно одно решение» бывает в двух разных ситуациях: либо у квадратного уравнения один корень (дискриминант равен нулю), либо корней два, но один из них запрещён.

Шаг 1. Область допустимых значений

\[x \neq -3,\qquad x \neq a.\]

Шаг 2. Приводим к общему знаменателю

Умножаем обе части на \((x+3)(x-a)\):

\[(x-2a)(x-a) + (x-2)(x+3) - (x+3)(x-a) = 0.\]

Раскрываем по очереди:

\[(x-2a)(x-a) = x^2 - 3ax + 2a^2,\]

\[(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6,\]

\[(x+3)(x-a) = x^2 - ax + 3x - 3a.\]

Складываем и приводим подобные:

\[x^2 - 2(a+1)x + \left(2a^2 + 3a - 6\right) = 0.\]

Шаг 3. Дискриминант

\[\frac{D}{4} = (a+1)^2 - \left(2a^2 + 3a - 6\right) = a^2 + 2a + 1 - 2a^2 - 3a + 6,\]

\[\frac{D}{4} = -a^2 - a + 7.\]

\[\frac{D}{4} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 + a - 7 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}.\]

Шаг 4. Первый случай: D = 0

При \(a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}\) корень один: \(x = a + 1\). Надо проверить, что он разрешён.

\(x = a\)? Нет: \(a + 1 \neq a\) никогда.

\(x = -3\)? Это дало бы \(a = -4\), но \(-4\) не является корнем уравнения \(a^2 + a - 7 = 0\) (подстановка даёт \(16 - 4 - 7 = 5 \neq 0\)).

Значит, оба эти значения \(a\) подходят.

Шаг 5. Второй случай: D > 0, но один корень запрещён

Корень равен \(-3\). Подставим \(x = -3\) в квадратное уравнение:

\[9 + 6(a+1) + 2a^2 + 3a - 6 = 0,\qquad 2a^2 + 9a + 9 = 0,\]

\[a = \frac{-9 \pm 3}{4} \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac32 \quad\text{или}\quad a = -3.\]

Проверяем каждое.

При \(a = -\dfrac32\): \(\dfrac{D}{4} = -2{,}25 + 1{,}5 + 7 = 6{,}25 > 0\). Сумма корней равна \(2(a+1) = -1\), значит второй корень равен \(-1 - (-3) = 2\). Он не равен ни \(-3\), ни \(a = -1{,}5\) — остаётся ровно одно решение \(x = 2\) ✓.

При \(a = -3\): уравнение принимает вид \(x^2 + 4x + 3 = 0\), корни \(-1\) и \(-3\). Корень \(-3\) запрещён (и как \(x = -3\), и как \(x = a\)), остаётся \(x = -1\) ✓.

Корень равен \(a\). Подставим \(x = a\):

\[a^2 - 2(a+1)a + 2a^2 + 3a - 6 = 0,\qquad a^2 + a - 6 = 0,\]

\[a = 2 \quad\text{или}\quad a = -3.\]

При \(a = 2\): \(\dfrac{D}{4} = -4 - 2 + 7 = 1 > 0\), уравнение \(x^2 - 6x + 8 = 0\), корни \(2\) и \(4\). Корень \(x = 2 = a\) запрещён, остаётся \(x = 4\) ✓.

Значение \(a = -3\) уже встречалось.

Важно! Каждое «подозрительное» значение \(a\) обязательно проверяют подстановкой. Может оказаться, что запрещённым становится второй корень тоже — тогда решений не останется вовсе, и значение в ответ не пойдёт. Именно так устроен случай \(a = -3\): там оба запрета бьют в один и тот же корень \(-3\), поэтому второй корень выживает.

Шаг 6. Собираем ответ

Других вариантов нет: при \(D < 0\) решений ноль, при \(D > 0\) и обоих разрешённых корнях решений два.

Ответ

\[a \in \left\{\frac{-1-\sqrt{29}}{2};\ -3;\ -\frac32;\ 2;\ \frac{-1+\sqrt{29}}{2}\right\}.\]

Ответ: \(a \in \left\{\dfrac{-1-\sqrt{29}}{2};\ -3;\ -\dfrac32;\ 2;\ \dfrac{-1+\sqrt{29}}{2}\right\}\)