Идея решения

Второе уравнение задаёт арифметический корень, а он всегда неотрицателен. Значит, модуль по \(y\) снимается сразу, и вместо ромба \(|x| + |y| = a\) остаётся «галочка» \(y = a - |x|\) — две полупрямые с вершиной \((0;\ a)\). При росте \(a\) эта галочка просто поднимается вверх, и надо поймать моменты, когда общих точек с кривой ровно две.

Шаг 1. Снимаем модуль по y

Из второго уравнения \(y = \sqrt{x+4} \geqslant 0\) и \(x \geqslant -4\). Поэтому \(|y| = y\), и первое уравнение превращается в

\[|x| + y = a,\qquad\text{то есть}\qquad y = a - |x|.\]

Важно! Это первый и главный шаг. Если честно рисовать ромб \(|x|+|y| = a\), работы станет вдвое больше, а нижняя его половина всё равно окажется лишней: кривая \(y = \sqrt{x+4}\) ниже оси не опускается.

Шаг 2. Что за графики

Кривая \(y = \sqrt{x+4}\) — ветвь параболы, лежащая на боку. Начинается в точке \((-4;\ 0)\), возрастает, выпукла вверх, проходит через \((0;\ 2)\).

Галочка \(y = a - |x|\) — две полупрямые: слева \(y = a + x\) (угловой коэффициент \(+1\)), справа \(y = a - x\) (угловой коэффициент \(-1\)); вершина в точке \((0;\ a)\).

Шаг 3. Правая полупрямая

Справа кривая возрастает, а полупрямая убывает, поэтому общих точек у них не больше одной. Общая точка есть тогда и только тогда, когда в точке \(x = 0\) галочка не ниже кривой:

\[a \geqslant 2.\]

При \(a = 2\) этой точкой оказывается сама вершина \((0;\ 2)\).

Шаг 4. Левая полупрямая

Здесь обе линии возрастают, поэтому точек может быть и две. Рассмотрим разность на отрезке \([-4;\ 0]\):

\[f(x) = (a + x) - \sqrt{x+4}.\]

Найдём, где она наименьшая:

\[f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x+4}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x+4} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad x = -3{,}75.\]

Значения, которые нам понадобятся:

\[f(-4) = a - 4,\qquad f(-3{,}75) = a - 3{,}75 - 0{,}5 = a - \frac{17}{4}, \qquad f(0) = a - 2.\]

Функция сначала убывает, потом возрастает, поэтому \(f(-3{,}75)\) — её минимум.

Важно! Число \(\dfrac{17}{4}\) появляется именно здесь — как значение \(a\), при котором минимум разности равен нулю. Это и есть касание галочки с кривой; «увидеть» его на глаз невозможно, нужен счёт.

Шаг 5. Разбор случаев

\(0 < a < 2\). Тогда \(f(-4) < 0\), \(f(0) < 0\), минимум и подавно отрицателен — слева точек нет. Справа тоже нет. Итого 0.

\(a = 2\). \(f(0) = 0\): единственная общая точка — вершина \((0;\ 2)\). Итого 1.

\(2 < a < 4\). \(f(-4) = a - 4 < 0\), а \(f(0) = a - 2 > 0\): разность меняет знак один раз, слева ровно одна точка. Справа одна. Итого 2 ✓.

\(a = 4\). \(f(-4) = 0\) — галочка проходит через начало кривой \((-4;\ 0)\). Но минимум \(f(-3{,}75) = -0{,}25 < 0\), а \(f(0) = 2 > 0\), значит есть и вторая точка слева. Плюс одна справа. Итого 3.

\(4 < a < \dfrac{17}{4}\). Оба конца положительны, минимум отрицателен — слева две точки, справа одна. Итого 3.

\(a = \dfrac{17}{4}\). Минимум равен нулю — касание в точке \((-3{,}75;\ 0{,}5)\). Слева ровно одна точка, справа одна. Итого 2 ✓.

\(a > \dfrac{17}{4}\). Минимум положителен — слева точек нет, справа одна. Итого 1.

Шаг 6. Проверка точки касания

\[x = -3{,}75,\qquad y = \sqrt{-3{,}75 + 4} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5,\]

\[|x| + |y| = 3{,}75 + 0{,}5 = 4{,}25 = \frac{17}{4}.\ \checkmark\]

Ответ

\[a \in (2;\ 4) \cup \left\{\frac{17}{4}\right\}.\]

Ответ: \(a \in (2;\ 4) \cup \left\{\dfrac{17}{4}\right\}\)