Идея решения

Главная тонкость здесь — множитель \(\sqrt{x+5}\) в числителе. Он обнуляется при \(x = -5\) при любом \(y\), то есть даёт не точку, а целую вертикальную прямую. Остальная часть числителя раскладывается на две скобки и даёт два отрезка. Второе уравнение — семейство прямых с угловым коэффициентом \(-1\).

Шаг 1. Область допустимых значений

\[\begin{cases}x + 5 \geqslant 0,\\ 5 - x > 0\end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad -5 \leqslant x < 5.\]

Обратите внимание на разные знаки: под корнем в числителе допустим ноль, а в знаменателе — нет.

Шаг 2. Когда дробь равна нулю

На ОДЗ знаменатель \(\sqrt{5-x} > 0\), поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю числитель:

\[\left(y^2 - xy - 7y + 4x + 12\right)\cdot\sqrt{x+5} = 0.\]

Произведение равно нулю, если ноль хотя бы один множитель.

Важно! Первый вариант — \(\sqrt{x+5} = 0\), то есть \(x = -5\), и при этом \(y\) может быть любым. Получается целая прямая решений. Потерять её — значит потерять половину ответа.

Шаг 3. Раскладываем скобку

Сгруппируем так, чтобы выделить \((y-4)\):

\[y^2 - xy - 7y + 4x + 12 = \left(y^2 - 7y + 12\right) - x(y - 4) =\]

\[= (y-3)(y-4) - x(y-4) = (y-4)(y - 3 - x).\]

Значит, \(y = 4\) или \(y = x + 3\) — и всё это при \(-5 \leqslant x < 5\).

Шаг 4. Рисуем график первого уравнения

Он состоит из трёх кусков:

— вертикальная прямая \(x = -5\) целиком;

— отрезок \(y = 4\) при \(-5 \leqslant x < 5\): от точки \((-5;\ 4)\) до выколотой точки \((5;\ 4)\);

— отрезок \(y = x + 3\) при \(-5 \leqslant x < 5\): от точки \((-5;\ -2)\) до выколотой точки \((5;\ 8)\).

Шаг 5. Вторая линия

\(a = x + y\), то есть \(y = -x + a\) — прямая с угловым коэффициентом \(-1\), которая при росте \(a\) поднимается вверх.

Шаг 6. Считаем точки пересечения

С прямой \(x = -5\): \(y = 5 + a\). Точка \((-5;\ a+5)\) есть всегда — ровно одна.

С отрезком \(y = 4\): \(-x + a = 4\), то есть \(x = a - 4\). Такая точка существует, когда \(-5 \leqslant a - 4 < 5\), то есть

\[-1 \leqslant a < 9.\]

С отрезком \(y = x + 3\): \(-x + a = x + 3\), то есть \(x = \dfrac{a-3}{2}\). Условие \(-5 \leqslant \dfrac{a-3}{2} < 5\) даёт

\[-7 \leqslant a < 13.\]

Шаг 7. Где точки склеиваются

Точка на прямой \(x = -5\) совпадает с точкой на отрезке \(y = 4\), когда \(a - 4 = -5\), то есть \(a = -1\) (общая точка \((-5;\ 4)\)).

Она же совпадает с точкой на отрезке \(y = x+3\), когда \(\dfrac{a-3}{2} = -5\), то есть \(a = -7\) (общая точка \((-5;\ -2)\)).

Точки на двух отрезках совпадают, когда \(a - 4 = \dfrac{a-3}{2}\), то есть \(2a - 8 = a - 3\), \(a = 5\) (общая точка \((1;\ 4)\) — там отрезки пересекаются).

Шаг 8. Разбор по промежуткам

\(a < -7\): есть только точка на прямой \(x = -5\) — 1 решение.

\(a = -7\): точки склеились — 1 решение.

\(-7 < a < -1\): прямая \(x = -5\) и отрезок \(y = x+3\) — 2 решения.

\(a = -1\): три точки, но две склеились — 2 решения.

\(-1 < a < 5\): все три точки различны — 3 решения.

\(a = 5\): две точки склеились — 2 решения.

\(5 < a < 9\): снова 3 решения.

\(a = 9\): отрезок \(y = 4\) кончился (точка \((5;4)\) выколота) — 2 решения.

\(9 < a < 13\): прямая \(x = -5\) и отрезок \(y = x+3\) — 2 решения.

\(a \geqslant 13\): остаётся одна точка — 1 решение.

Важно! Концы здесь ведут себя по-разному: \(a = -1\) и \(a = 5\) входят в ответ (там точки склеиваются), \(a = 9\) входит (отрезок заканчивается выколотой точкой), а \(a = 13\) не входит. Каждую границу нужно проверять отдельно, «по аналогии» тут не работает.

Ответ

\[a \in (-7;\ -1] \cup \{5\} \cup [9;\ 13).\]

Ответ: \(a \in (-7;\ -1] \cup \{5\} \cup [9;\ 13)\)