Идея решения

Первое уравнение — произведение двух скобок, равное нулю. Значит, его график распадается на две линии: гиперболу и прямую. Второе уравнение задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 3. Остаётся посчитать, сколько точек даёт каждая линия, и поймать случаи, когда точек ровно две.

Шаг 1. Разбираем первое уравнение

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[xy - x + 7 = 0 \quad\text{или}\quad y - x + 7 = 0.\]

Вторая скобка даёт обычную прямую

\[y = x - 7.\]

Первая скобка: \(x(y - 1) = -7\). При \(x = 0\) слева стоит ноль, а справа \(-7\) — равенство невозможно. Значит \(x \neq 0\), и можно поделить:

\[y - 1 = -\frac7x,\qquad y = 1 - \frac7x.\]

Это гипербола с асимптотами \(x = 0\) и \(y = 1\).

Важно! Проверка \(x \neq 0\) не формальность: именно она гарантирует, что при решении уравнения ниже посторонний корень \(x = 0\) не появится.

Шаг 2. Пересечение с прямой y = x − 7

\[3x + a = x - 7 \quad\Longrightarrow\quad 2x = -7 - a \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{a+7}{2}.\]

Угловые коэффициенты \(3\) и \(1\) разные, поэтому прямые не параллельны: при любом \(a\) получается ровно одна точка.

Шаг 3. Пересечение с гиперболой

\[3x + a = 1 - \frac7x.\]

Умножаем на \(x \neq 0\):

\[3x^2 + ax = x - 7,\qquad 3x^2 + (a-1)x + 7 = 0.\]

Подставив \(x = 0\), получим \(7 \neq 0\) — значит, ноль корнем этого уравнения быть не может, и все его корни годятся.

\[D = (a-1)^2 - 4\cdot 3\cdot 7 = (a-1)^2 - 84.\]

Шаг 4. Сколько всего точек

Складываем: одна точка от прямой плюс корни от гиперболы.

\[D < 0:\ \ 1 + 0 = 1;\qquad D = 0:\ \ 1 + 1 = 2;\qquad D > 0:\ \ 1 + 2 = 3.\]

Ровно два решения возможны в двух ситуациях: либо \(D = 0\), либо \(D > 0\), но одна из точек гиперболы совпадает с точкой на прямой.

Шаг 5. Первый случай: касание (D = 0)

\[(a-1)^2 = 84 \quad\Longrightarrow\quad a - 1 = \pm 2\sqrt{21} \quad\Longrightarrow\quad a = 1 \pm 2\sqrt{21}.\]

Надо убедиться, что точка касания не совпала с точкой на прямой \(y = x - 7\). Они совпали бы при

\[\frac{1-a}{6} = -\frac{a+7}{2} \quad\Longrightarrow\quad 1 - a = -3a - 21 \quad\Longrightarrow\quad a = -11,\]

а \(-11\) не совпадает ни с \(1 + 2\sqrt{21}\), ни с \(1 - 2\sqrt{21}\) (ведь \(\sqrt{21} \approx 4{,}6\)). Значит, оба значения дают ровно два решения.

Шаг 6. Второй случай: прямая проходит через общую точку графиков

Найдём точки, где гипербола и прямая \(y = x - 7\) пересекаются:

\[x - 7 = 1 - \frac7x \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 7x = x - 7 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 8x + 7 = 0,\]

\[x = 1 \quad\text{или}\quad x = 7,\]

то есть точки \((1;\ -6)\) и \((7;\ 0)\).

Если прямая \(y = 3x + a\) проходит через такую точку, то две из трёх точек пересечения склеиваются в одну и остаётся ровно две.

Через \((1;\ -6)\): \(-6 = 3\cdot 1 + a\), откуда \(a = -9\).

Через \((7;\ 0)\): \(0 = 3\cdot 7 + a\), откуда \(a = -21\).

Проверяем, что в обоих случаях \(D > 0\):

\[a = -9:\ (-10)^2 = 100 > 84;\qquad a = -21:\ (-22)^2 = 484 > 84.\]

Важно! Вариант «обе точки гиперболы совпали с точкой на прямой» невозможен: прямая \(y = 3x + a\) пересекает прямую \(y = x - 7\) только в одной точке, склеить с ней сразу два корня нельзя.

Ответ

\[a \in \left\{-21;\ -9;\ 1 - 2\sqrt{21};\ 1 + 2\sqrt{21}\right\}.\]

Ответ: \(a \in \left\{-21;\ -9;\ 1 - 2\sqrt{21};\ 1 + 2\sqrt{21}\right\}\)