Идея решения

Фраза «высота проходит через точку \(B\)» означает ровно одно: \(DB\) перпендикулярно плоскости основания. Из этого получатся сразу два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой \(AD\), а \(M\) — середина этой гипотенузы. Медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому \(MB\) и \(MC\) окажутся равными.

Во втором пункте работают две средние линии: они превращают пространственную задачу в плоский прямоугольный треугольник с катетами \(\dfrac{BD}{2}\) и \(\dfrac{AC}{2}\).

Пункт а). Шаг 1. Что значит «высота проходит через B»

Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины \(D\) на плоскость основания. По условию он проходит через \(B\), значит его основание — сама точка \(B\), то есть

\[DB \perp (ABC).\]

Важно! Отсюда сразу следует, что \(DB\) перпендикулярна любой прямой плоскости основания: \(DB \perp AB\), \(DB \perp BC\), \(DB \perp AC\). Дальше мы пользуемся этим трижды.

Шаг 2. Находим MB

Так как \(DB \perp AB\), треугольник \(ABD\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(B\), а \(AD\) — его гипотенуза. Точка \(M\) — середина \(AD\), то есть \(BM\) — медиана, проведённая из вершины прямого угла. Такая медиана равна половине гипотенузы:

\[MB = \frac{AD}{2}.\]

Шаг 3. Находим MC

Докажем, что и треугольник \(ACD\) прямоугольный — с прямым углом при вершине \(C\).

По условию \(AC \perp BC\). Кроме того, \(AC \perp DB\), потому что \(DB\) перпендикулярна всей плоскости основания, а \(AC\) лежит в ней.

Прямые \(BC\) и \(DB\) пересекаются в точке \(B\) и задают плоскость \(BCD\). Прямая \(AC\) перпендикулярна обеим, значит

\[AC \perp (BCD),\]

а тогда \(AC\) перпендикулярна и прямой \(CD\) этой плоскости:

\[AC \perp CD.\]

Значит, треугольник \(ACD\) прямоугольный с прямым углом при \(C\) и гипотенузой \(AD\). Точка \(M\) — её середина, поэтому

\[MC = \frac{AD}{2}.\]

Важно! Это самый тонкий шаг задачи. Перпендикулярность \(AC \perp CD\) в условии не дана — её получают через признак перпендикулярности прямой и плоскости. Нужны именно две пересекающиеся прямые \(BC\) и \(DB\).

Шаг 4. Равнобедренный треугольник

Из шагов 2 и 3

\[MB = MC = \frac{AD}{2},\]

то есть треугольник \(BMC\) равнобедренный с основанием \(BC\).

Точка \(N\) — середина \(BC\), поэтому \(MN\) — медиана этого треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой. Значит,

\[MN \ \text{— биссектриса угла}\ BMC.\]

Пункт а) доказан.

Пункт б). Шаг 5. Две средние линии

Отметим точку \(P\) — середину ребра \(AB\).

В треугольнике \(ABD\) точки \(M\) и \(P\) — середины сторон \(AD\) и \(AB\), поэтому \(MP\) — средняя линия:

\[MP \parallel BD,\qquad MP = \frac{BD}{2} = \frac{4\sqrt2}{2} = 2\sqrt2.\]

В треугольнике \(ABC\) точки \(P\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), поэтому \(PN\) — средняя линия:

\[PN \parallel AC,\qquad PN = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6.\]

Шаг 6. Треугольник MPN прямоугольный

Так как \(MP \parallel BD\), а \(BD \perp (ABC)\), то и \(MP \perp (ABC)\). Прямая \(PN\) лежит в плоскости основания, поэтому

\[MP \perp PN,\]

то есть треугольник \(MPN\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(P\).

Шаг 7. Находим угол

Прямая \(MP\) параллельна прямой \(BD\), поэтому угол между прямыми \(BD\) и \(MN\) равен углу между прямыми \(MP\) и \(MN\), то есть углу \(PMN\). В прямоугольном треугольнике он острый, и

\[\operatorname{tg}\angle PMN = \frac{PN}{MP} = \frac{6}{2\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} = \frac{3\sqrt2}{2}.\]

Важно! Угол берём при вершине \(M\), а не при \(N\): именно из \(M\) выходит средняя линия \(MP\), параллельная ребру \(BD\). Если взять угол \(MNP\), получится arctg от обратной величины — другой (дополнительный до \(90^\circ\)) угол.

Заметьте: длина \(BC\) в ответ не вошла вообще — задача от неё не зависит.

Ответ

\[\operatorname{arctg}\frac{3\sqrt2}{2}.\]

Ответ: \(\operatorname{arctg}\dfrac{3\sqrt2}{2}\)