Идея решения

Плоскость, перпендикулярная основанию, устроена просто: она «стоит вертикально» на некоторой прямой основания. Значит, вся работа — найти эту прямую. Она проходит через \(M\) и через проекцию точки \(K\) на основание. Останется проверить, что эта прямая попадает в вершину \(C\).

А дальше выяснится приятное: проекция \(K\) лежит прямо на отрезке \(MC\), поэтому высота треугольника-сечения — это просто высота точки \(K\) над основанием.

Пункт а). Шаг 1. Куда проецируется K

Пусть \(O\) — центр основания. Пирамида правильная, значит \(SO\) — её высота, и проекция вершины \(S\) на основание — это \(O\).

Точка \(K\) лежит на ребре \(SB\), причём

\[\frac{SK}{SB} = \frac{2}{14} = \frac17.\]

При проецировании отношения на прямой сохраняются, поэтому проекция \(X\) точки \(K\) лежит на отрезке \(OB\) и

\[\frac{OX}{OB} = \frac17.\]

Шаг 2. Координаты в плоскости основания

Введём в основании координаты:

\[A(0;\ 0),\quad B(16;\ 0),\quad C(16;\ 16),\quad D(0;\ 16),\quad O(8;\ 8).\]

Точка \(M\) на \(AB\) с \(AM = 4\), то есть \(M(4;\ 0)\). Точка \(X\):

\[X = O + \frac17\left(B - O\right) = \left(8 + \frac{8}{7};\ 8 - \frac{8}{7}\right) = \left(\frac{64}{7};\ \frac{48}{7}\right).\]

Шаг 3. Проверяем, что M, X и C на одной прямой

Найдём направляющие векторы:

\[\vec{MC} = (16 - 4;\ 16 - 0) = (12;\ 16),\]

\[\vec{MX} = \left(\frac{64}{7} - 4;\ \frac{48}{7} - 0\right) = \left(\frac{36}{7};\ \frac{48}{7}\right) = \frac{3}{7}\,(12;\ 16).\]

Векторы коллинеарны, значит точки \(M\), \(X\) и \(C\) лежат на одной прямой.

Шаг 4. Вывод

Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна основанию и содержит точку \(M\) основания, поэтому она пересекает основание по прямой, проходящей через \(M\). Точка \(K\) тоже лежит в \(\alpha\), а вместе с ней и её проекция \(X\) (перпендикуляр \(KX\) к основанию целиком лежит в \(\alpha\), ведь \(\alpha \perp (ABC)\)).

Значит, линия пересечения \(\alpha\) с основанием — это прямая \(MX\), то есть прямая \(MC\). Она проходит через точку \(C\), поэтому

\[C \in \alpha.\]

Пункт а) доказан.

Важно! Здесь используется свойство: если плоскость перпендикулярна другой плоскости, то перпендикуляр, опущенный из любой её точки на вторую плоскость, целиком лежит в первой. Именно поэтому точка \(X\) обязана принадлежать \(\alpha\).

Пункт б). Шаг 5. Что представляет собой сечение

Плоскость \(\alpha\) пересекает основание по отрезку \(MC\), боковое ребро \(SB\) — в точке \(K\), а вершину \(C\) содержит. Больше никаких рёбер она не пересекает, поэтому сечение — треугольник \(MKC\).

Шаг 6. Длина MC

\[MC = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20.\]

Шаг 7. Высота пирамиды

Диагональ квадрата со стороной 16 равна \(16\sqrt2\), поэтому

\[AO = \frac{16\sqrt2}{2} = 8\sqrt2,\qquad AO^2 = 128.\]

Из прямоугольного треугольника \(SOA\):

\[SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{196 - 128} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}.\]

Шаг 8. Высота точки K над основанием

Точка \(K\) делит ребро \(SB\) так, что \(SK : SB = 1 : 7\), значит от основания она отстоит на \(\dfrac67\) высоты пирамиды:

\[KX = \frac67\cdot SO = \frac67\cdot 2\sqrt{17} = \frac{12\sqrt{17}}{7}.\]

Шаг 9. Площадь сечения

Отрезок \(KX\) перпендикулярен плоскости основания, а точка \(X\) лежит на прямой \(MC\). Значит, \(KX \perp MC\), то есть \(KX\) — высота треугольника \(MKC\), проведённая к стороне \(MC\).

\[S = \frac12\cdot MC\cdot KX = \frac12\cdot 20\cdot\frac{12\sqrt{17}}{7} = \frac{120\sqrt{17}}{7}.\]

Важно! Высоту треугольника-сечения удалось взять «готовой» только потому, что проекция \(X\) попала ровно на сторону \(MC\). Это прямое следствие пункта а) — не пропускайте это рассуждение, иначе придётся честно искать расстояние от \(K\) до прямой \(MC\).

Ответ

\[\frac{120\sqrt{17}}{7}.\]

Ответ: \(\dfrac{120\sqrt{17}}{7}\)