Основанием четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) является прямоугольник со сторонами \(AB = 24\), \(BC = 7\). Боковые рёбра \(SA = \sqrt{51}\), \(SB = \sqrt{627}\), \(SD = 10\).
а) Докажите, что \(SA\) — высота пирамиды.
б) Найдите угол между \(SC\) и \(BD\).
Идея решения
Первый пункт — снова обратная теорема Пифагора для двух треугольников при вершине \(A\). А как только доказано, что \(SA\) — высота, из вершины \(A\) выходят три попарно перпендикулярных ребра: \(AB\), \(AD\) и \(AS\). Это готовая система координат, и угол между скрещивающимися прямыми \(SC\) и \(BD\) считается через скалярное произведение.
Пункт а). Шаг 1. Две проверки
\[SA^2 + AB^2 = 51 + 24^2 = 51 + 576 = 627 = SB^2,\]
значит треугольник \(SAB\) прямоугольный и \(SA \perp AB\).
В прямоугольнике \(AD = BC = 7\), поэтому
\[SA^2 + AD^2 = 51 + 49 = 100 = 10^2 = SD^2,\]
значит треугольник \(SAD\) прямоугольный и \(SA \perp AD\).
Прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются и лежат в плоскости основания, поэтому
\[SA \perp (ABCD).\]
Пункт а) доказан.
Важно! Длина \(SB = \sqrt{627}\) выглядит пугающе, но в проверке она участвует только в виде квадрата: \(\left(\sqrt{627}\right)^2 = 627\). Корень извлекать не нужно нигде.
Пункт б). Шаг 2. Вводим координаты
Из точки \(A\) выходят три попарно перпендикулярных отрезка: \(AB \perp AD\) (углы прямоугольника), \(SA \perp AB\) и \(SA \perp AD\) (пункт а). Направим по ним оси:
\[A(0;\ 0;\ 0),\quad B(24;\ 0;\ 0),\quad D(0;\ 7;\ 0),\]
\[C(24;\ 7;\ 0),\quad S\left(0;\ 0;\ \sqrt{51}\right).\]
Шаг 3. Направляющие векторы
\[\vec{SC} = \left(24 - 0;\ 7 - 0;\ 0 - \sqrt{51}\right) = \left(24;\ 7;\ -\sqrt{51}\right),\]
\[\vec{BD} = \left(0 - 24;\ 7 - 0;\ 0 - 0\right) = (-24;\ 7;\ 0).\]
Шаг 4. Длины
\[\left|\vec{SC}\right| = \sqrt{24^2 + 7^2 + 51} = \sqrt{576 + 49 + 51} = \sqrt{676} = 26,\]
\[\left|\vec{BD}\right| = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25.\]
Шаг 5. Скалярное произведение
\[\vec{SC}\cdot\vec{BD} = 24\cdot(-24) + 7\cdot 7 + \left(-\sqrt{51}\right)\cdot 0 = -576 + 49 = -527.\]
Шаг 6. Угол между прямыми
\[\cos\varphi = \frac{\left|\vec{SC}\cdot\vec{BD}\right|} {\left|\vec{SC}\right|\cdot\left|\vec{BD}\right|} = \frac{|-527|}{26\cdot 25} = \frac{527}{650}.\]
Важно! Угол между прямыми не превышает \(90^\circ\), поэтому в числителе обязательно стоит модуль скалярного произведения. Если модуль не поставить, получится \(-\dfrac{527}{650}\) и тупой угол — это был бы угол между векторами, а не между прямыми.
Ответ
\[\arccos\frac{527}{650}.\]
Ответ: \(\arccos\dfrac{527}{650}\)