Идея решения

Все числа в условии подобраны так, чтобы дважды сработала теорема, обратная теореме Пифагора: два боковых треугольника при вершине \(A\) окажутся прямоугольными. Отсюда \(SA\) перпендикулярно двум сторонам основания — значит, и всей плоскости основания.

Во втором пункте главное — заметить, что плоскость \(SBC\) перпендикулярна плоскости \(SAB\). Тогда искать расстояние в пространстве не нужно: достаточно опустить перпендикуляр внутри плоского прямоугольного треугольника \(SAB\).

Пункт а). Шаг 1. Треугольник SAB

Проверим числа:

\[SA^2 + AB^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289,\qquad SB^2 = 17^2 = 289.\]

Равенство выполнено, значит по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник \(SAB\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(A\):

\[SA \perp AB.\]

Шаг 2. Треугольник SAD

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому \(AD = BC = \sqrt{15}\). Проверим:

\[SA^2 + AD^2 = 225 + 15 = 240,\qquad SD^2 = \left(4\sqrt{15}\right)^2 = 16\cdot 15 = 240.\]

Снова равенство, значит

\[SA \perp AD.\]

Шаг 3. Вывод

Прямая \(SA\) перпендикулярна двум прямым \(AB\) и \(AD\), лежащим в плоскости \(ABCD\). Эти прямые пересекаются (в точке \(A\)), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

\[SA \perp (ABCD),\]

то есть \(SA\) — высота пирамиды. Пункт а) доказан.

Важно! В признаке обязательно нужны две пересекающиеся прямые плоскости. Одной перпендикулярности \(SA \perp AB\) недостаточно: через прямую \(AB\) проходит бесконечно много плоскостей, и \(SA\) не обязана быть перпендикулярна основанию.

Пункт б). Шаг 4. Ключевая перпендикулярность

Сторона \(BC\) прямоугольника перпендикулярна стороне \(AB\). Кроме того, \(SA \perp (ABCD)\), а прямая \(BC\) лежит в этой плоскости, поэтому \(SA \perp BC\).

Итак, \(BC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(SA\) плоскости \(SAB\), значит

\[BC \perp (SAB).\]

Шаг 5. Две перпендикулярные плоскости

Плоскость \(SBC\) проходит через прямую \(BC\), перпендикулярную плоскости \(SAB\). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны:

\[(SBC) \perp (SAB).\]

Пересекаются они по прямой \(SB\).

Важно! Дальше работает свойство перпендикулярных плоскостей: если из точки одной плоскости опустить перпендикуляр на линию их пересечения, то этот отрезок будет перпендикулярен и второй плоскости. Поэтому всё построение уходит внутрь плоского треугольника \(SAB\) — пространственных выкладок больше не нужно.

Шаг 6. Считаем в треугольнике SAB

Опустим в плоскости \(SAB\) перпендикуляр \(AH\) из точки \(A\) на прямую \(SB\). Тогда \(AH \perp (SBC)\), и длина \(AH\) — искомое расстояние.

Треугольник \(SAB\) прямоугольный с катетами \(SA = 15\) и \(AB = 8\) и гипотенузой \(SB = 17\). Его площадь можно посчитать двумя способами:

\[\frac12\cdot SA\cdot AB = \frac12\cdot SB\cdot AH.\]

Отсюда

\[AH = \frac{SA\cdot AB}{SB} = \frac{15\cdot 8}{17} = \frac{120}{17}.\]

Ответ

\[\frac{120}{17}.\]

Ответ: \(\dfrac{120}{17}\)