Идея решения

Сначала ОДЗ — и оно сразу снимает модуль: логарифмы требуют \(x > 0\), а тогда \(|x| = x\). Дальше остаётся найти нули двух логарифмов и нуль знаменателя и расставить знаки.

Шаг 1. Область допустимых значений

Под логарифмами должны стоять положительные числа:

\[9x > 0 \ \text{и}\ 64x > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x > 0.\]

Важно! Как только записано \(x > 0\), модуль раскрывается однозначно: \(|x| = x\). Разбирать случай \(x < 0\) не нужно — там логарифмов просто не существует. Это экономит половину решения.

Теперь знаменатель:

\[5x^2-|x| = 5x^2 - x = x(5x-1).\]

Он не должен быть нулём: \(x \neq 0\) (уже есть) и

\[5x-1 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \neq \frac15.\]

Итого \(\text{ОДЗ}: x > 0,\ x \neq \dfrac15\).

Шаг 2. Знак знаменателя

При \(x > 0\) первый множитель положителен, поэтому знак произведения \(x(5x-1)\) совпадает со знаком \(5x-1\):

\[x(5x-1) > 0 \ \text{при}\ x > \frac15,\qquad x(5x-1) < 0 \ \text{при}\ 0 < x < \frac15.\]

Шаг 3. Нули числителя

\[\log_3(9x) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 9x = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac19,\]

\[\log_4(64x) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 64x = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{1}{64}.\]

Оба основания больше единицы, значит логарифмы возрастают: каждый из них отрицателен левее своего нуля и положителен правее.

Расположим все три особые точки по возрастанию:

\[\frac{1}{64} = 0{,}015625 \ <\ \frac19 \approx 0{,}111 \ <\ \frac15 = 0{,}2.\]

Шаг 4. Метод интервалов

Работаем только на луче \(x > 0\), точки \(\dfrac{1}{64}\), \(\dfrac19\), \(\dfrac15\) делят его на четыре промежутка. Разберём знаки по очереди:

На \(\left(0;\ \dfrac{1}{64}\right)\): оба логарифма отрицательны, их произведение положительно; знаменатель отрицателен — дробь отрицательна.

На \(\left(\dfrac{1}{64};\ \dfrac19\right)\): \(\log_4(64x) > 0\), а \(\log_3(9x) < 0\), произведение отрицательно; знаменатель отрицателен — дробь положительна.

На \(\left(\dfrac19;\ \dfrac15\right)\): оба логарифма положительны, произведение положительно; знаменатель отрицателен — дробь отрицательна.

На \(\left(\dfrac15;\ +\infty\right)\): числитель положителен и знаменатель положителен — дробь положительна.

Шаг 5. Концы

Точки \(x = \dfrac{1}{64}\) и \(x = \dfrac19\) обращают числитель в ноль, дробь равна нулю — неравенство \(\leqslant 0\) это допускает, они входят в ответ. Точка \(x = \dfrac15\) обнуляет знаменатель и выколота, а \(x = 0\) не входит в ОДЗ.

Ответ

\[x \in \left(0;\ \frac{1}{64}\right] \cup \left[\frac19;\ \frac15\right).\]

Ответ: \(x \in \left(0;\ \dfrac{1}{64}\right] \cup \left[\dfrac19;\ \dfrac15\right)\)