Идея решения

Модуль здесь можно не раскрывать по случаям. Достаточно умножить обе части на \(|x-3|\) — это положительное число, знак неравенства не изменится. Тогда во втором слагаемом появится \(|x-3|^2\), а квадрат модуля равен квадрату самого выражения. Модуль исчезает сам.

Шаг 1. Область допустимых значений

На \(|x-3|\) делят, поэтому

\[|x-3| \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{ОДЗ}: x \neq 3.\]

Шаг 2. Умножаем на модуль

При \(x \neq 3\) число \(|x-3|\) строго положительно, поэтому умножение на него обе части не переворачивает:

\[x^3-27 - x\,|x-3|^2 \geqslant 0.\]

Теперь пользуемся тем, что квадрат модуля равен квадрату выражения:

\[|x-3|^2 = (x-3)^2,\]

\[x^3-27 - x(x-3)^2 \geqslant 0.\]

Важно! Именно это и есть главный приём задачи: не разбирать два случая \(x > 3\) и \(x < 3\), а избавиться от модуля через тождество \(|a|^2 = a^2\). Разбор случаев тоже приведёт к ответу, но займёт вдвое больше времени.

Шаг 3. Раскладываем на множители

Разность кубов: \(x^3-27 = (x-3)\left(x^2+3x+9\right)\). Выносим общий множитель \((x-3)\):

\[(x-3)\left(x^2+3x+9\right) - x(x-3)^2 \geqslant 0,\]

\[(x-3)\left[x^2+3x+9 - x(x-3)\right] \geqslant 0.\]

Упрощаем квадратную скобку:

\[x^2+3x+9 - x^2+3x = 6x+9.\]

Получаем

\[(x-3)(6x+9) \geqslant 0,\qquad 3(x-3)(2x+3) \geqslant 0,\]

\[(x-3)(2x+3) \geqslant 0.\]

Шаг 4. Метод интервалов

Корни: \(x = 3\) и \(x = -\dfrac32 = -1{,}5\). Парабола с ветвями вверх, поэтому произведение неотрицательно вне корней:

Шаг 5. Учитываем ОДЗ

Точка \(x = -1{,}5\) закрашена: там левая часть исходного неравенства равна нулю. А вот \(x = 3\) в ответ не входит, хотя произведение там и обращается в ноль: в этой точке исходное выражение не определено — деление на \(|x-3| = 0\).

Важно! Классическая ловушка. После умножения на \(|x-3|\) точка \(x = 3\) становится «законным» корнем нового неравенства, но в исходном её нет. Всегда возвращайтесь к ОДЗ в самом конце.

Ответ

\[x \in \left(-\infty;\ -\frac32\right] \cup (3;\ +\infty).\]

Ответ: \(x \in \left(-\infty;\ -\dfrac32\right] \cup (3;\ +\infty)\)