Идея решения

Крест-накрест умножать нельзя: знак правого знаменателя неизвестен. Переносим всё в одну сторону, приводим к общему знаменателю — и замечаем, что один из множителей знаменателя положителен всегда, а значит, на него можно спокойно сократить.

Шаг 1. Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль. Выражение \(3^{\,x}+27\) положительно при любом \(x\), а вот

\[3^{\,x}-27 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3^{\,x} = 3^3 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 3.\]

Значит, \(\text{ОДЗ}: x \neq 3\).

Шаг 2. Переносим всё влево

\[\frac{2}{3^{\,x}+27} - \frac{1}{3^{\,x}-27} \geqslant 0.\]

Важно! Умножать обе части «крест-накрест» строго запрещено: множитель \(3^{\,x}-27\) при \(x < 3\) отрицателен, и знак неравенства тогда меняется. Ошибка на этом шаге стоит всей задачи.

Приводим к общему знаменателю:

\[\frac{2\left(3^{\,x}-27\right) - \left(3^{\,x}+27\right)} {\left(3^{\,x}+27\right)\left(3^{\,x}-27\right)} \geqslant 0.\]

Раскрываем числитель:

\[2\cdot 3^{\,x} - 54 - 3^{\,x} - 27 = 3^{\,x} - 81.\]

Получаем

\[\frac{3^{\,x}-81}{\left(3^{\,x}+27\right)\left(3^{\,x}-27\right)} \geqslant 0.\]

Шаг 3. Убираем заведомо положительный множитель

Так как \(3^{\,x} > 0\), то \(3^{\,x}+27 > 27 > 0\) при любом \(x\). Деление на положительное число знак неравенства не меняет, поэтому этот множитель можно просто выбросить:

\[\frac{3^{\,x}-81}{3^{\,x}-27} \geqslant 0.\]

Шаг 4. От показательных выражений — к линейным

Запишем \(81 = 3^4\) и \(27 = 3^3\). Показательная функция с основанием \(3 > 1\) возрастает, поэтому

\[3^{\,x} - 3^4 \ \text{имеет тот же знак, что}\ x - 4,\]

\[3^{\,x} - 3^3 \ \text{имеет тот же знак, что}\ x - 3.\]

Значит, знак всей дроби совпадает со знаком дроби \(\dfrac{x-4}{x-3}\).

Важно! Этот приём экономит замену переменной. Работает он только для возрастающей показательной функции, то есть при основании больше единицы. При основании меньше единицы знаки были бы противоположными.

Шаг 5. Метод интервалов

Нуль числителя \(x = 4\) закрашен (неравенство нестрогое, дробь там равна нулю), нуль знаменателя \(x = 3\) выколот.

Ответ

\[x \in (-\infty;\ 3) \cup [4;\ +\infty).\]

Ответ: \(x \in (-\infty;\ 3) \cup [4;\ +\infty)\)