Идея решения

В числителе четыре слагаемых — значит, надо пробовать группировку. Ключ в том, что \(15^{\,x} = 3^{\,x}\cdot 5^{\,x}\): после этого числитель раскладывается на два множителя, и дальше работает обычный метод интервалов.

Шаг 1. Раскладываем числитель на множители

Распишем каждое слагаемое:

\[15^{\,x} = (3\cdot 5)^{x} = 3^{\,x}\cdot 5^{\,x},\qquad 3^{\,x+1} = 3\cdot 3^{\,x},\qquad 5^{\,x+1} = 5\cdot 5^{\,x}.\]

Числитель принимает вид

\[3^{\,x}\cdot 5^{\,x} - 3\cdot 3^{\,x} - 5\cdot 5^{\,x} + 15.\]

Группируем первые два слагаемых и последние два:

\[3^{\,x}\left(5^{\,x} - 3\right) - 5\left(5^{\,x} - 3\right) = \left(5^{\,x} - 3\right)\left(3^{\,x} - 5\right).\]

Важно! Группировка получилась только потому, что во второй паре вынесли \(-5\), а не \(5\): \(-5\cdot 5^{\,x} + 15 = -5\left(5^{\,x} - 3\right)\). Если вынести \(5\), общей скобки не выйдет, и разложение не соберётся.

Шаг 2. Разбираемся со знаменателем

\[-x^2+2x = -x(x-2) = x(2-x).\]

Знаменатель не должен быть нулём, поэтому

\[\text{ОДЗ}:\quad x \neq 0,\qquad x \neq 2.\]

Знаменатель положителен ровно при \(0 < x < 2\) (парабола с ветвями вниз и корнями \(0\) и \(2\)) и отрицателен вне этого промежутка.

Шаг 3. Нули числителя

\[5^{\,x} - 3 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = \log_5 3,\]

\[3^{\,x} - 5 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = \log_3 5.\]

Чтобы расставить точки на прямой, оценим оба числа. Из \(1 < 3 < 5\) следует \(0 < \log_5 3 < 1\). Из \(3 < 5 < 9\) следует \(1 < \log_3 5 < 2\). Значит,

\[0 < \log_5 3 < 1 < \log_3 5 < 2.\]

Важно! Без этой оценки метод интервалов не поставить: надо точно знать, в каком порядке идут на прямой числа \(0\), \(\log_5 3\), \(\log_3 5\) и \(2\). Оба логарифма сравниваем с единицей — это самый быстрый способ.

Шаг 4. Знак числителя

Показательная функция возрастает при основании больше единицы, поэтому \(5^{\,x} - 3\) отрицательно левее \(\log_5 3\) и положительно правее, и точно так же ведёт себя \(3^{\,x} - 5\) относительно \(\log_3 5\).

Шаг 5. Метод интервалов для всей дроби

Расставляем на одной прямой все четыре точки и перемножаем знаки числителя и знаменателя:

Дробь неотрицательна на промежутках \((0;\ \log_5 3)\) и \((\log_3 5;\ 2)\).

Шаг 6. Концы

В точках \(x = \log_5 3\) и \(x = \log_3 5\) числитель обращается в ноль, дробь равна нулю — неравенство \(\geqslant 0\) это допускает, поэтому они входят в ответ. Точки \(x = 0\) и \(x = 2\) обращают в ноль знаменатель — они выколоты.

Ответ

\[x \in \left(0;\ \log_5 3\right] \cup \left[\log_3 5;\ 2\right).\]

Ответ: \(x \in \left(0;\ \log_5 3\right] \cup \left[\log_3 5;\ 2\right)\)