Идея решения

Знаменатель выглядит страшно, но после замены \(t = 0{,}5^{\,x}\) он превращается в квадратный трёхчлен с нулевым дискриминантом, то есть в полный квадрат. А значит, он неотрицателен всегда — и знак дроби определяет один только числитель.

Шаг 1. Разбираемся со знаменателем

Сделаем замену \(t = 0{,}5^{\,x}\), причём \(t > 0\). Выразим через \(t\) оба слагаемых:

\[0{,}25^{\,x} = \left(0{,}5^2\right)^{x} = \left(0{,}5^{\,x}\right)^2 = t^2,\]

\[0{,}5^{\,x-3{,}5} = 0{,}5^{\,x}\cdot 0{,}5^{-3{,}5} = t\cdot 2^{3{,}5} = t\cdot 2^3\cdot 2^{0{,}5} = 8\sqrt2\,t.\]

Знаменатель становится равен

\[t^2 - 8\sqrt2\,t + 32.\]

Шаг 2. Это полный квадрат

Проверим дискриминант:

\[D = \left(8\sqrt2\right)^2 - 4\cdot 32 = 128 - 128 = 0.\]

Дискриминант равен нулю, значит трёхчлен сворачивается в квадрат. Подберём его: \(\left(4\sqrt2\right)^2 = 32\) и \(2\cdot 4\sqrt2 = 8\sqrt2\), поэтому

\[t^2 - 8\sqrt2\,t + 32 = \left(t - 4\sqrt2\right)^2.\]

Возвращаемся к \(x\):

\[0{,}25^{\,x} - 0{,}5^{\,x-3{,}5} + 32 = \left(0{,}5^{\,x} - 4\sqrt2\right)^2 \geqslant 0.\]

Шаг 3. Где знаменатель равен нулю

Квадрат равен нулю, когда равно нулю само выражение в скобках:

\[0{,}5^{\,x} = 4\sqrt2.\]

Приведём обе части к основанию \(2\). Слева \(0{,}5^{\,x} = 2^{-x}\), справа \(4\sqrt2 = 2^2\cdot 2^{0{,}5} = 2^{2{,}5}\), поэтому

\[2^{-x} = 2^{2{,}5} \quad\Longrightarrow\quad -x = 2{,}5 \quad\Longrightarrow\quad x = -2{,}5.\]

Значит, ОДЗ — это все числа, кроме \(x = -2{,}5\), а при остальных \(x\) знаменатель строго положителен.

Важно! Точка \(x = -2{,}5\) обязана быть выколота в ответе, хотя на знак дроби она никак не влияет. Потерять её — значит потерять балл: в этой точке дробь просто не определена.

Шаг 4. Знак дроби равен знаку числителя

Поскольку знаменатель положителен при всех \(x \neq -2{,}5\), неравенство равносильно

\[1{,}5^{\,x} - 3{,}375 \leqslant 0.\]

Шаг 5. Решаем показательное неравенство

Заметим, что \(3{,}375\) — это куб числа \(1{,}5\):

\[1{,}5^2 = 2{,}25,\qquad 2{,}25\cdot 1{,}5 = 3{,}375.\]

Поэтому

\[1{,}5^{\,x} \leqslant 1{,}5^{\,3}.\]

Основание \(1{,}5 > 1\), показательная функция возрастает, знак неравенства сохраняется:

\[x \leqslant 3.\]

Шаг 6. Выкалываем точку и записываем ответ

Из промежутка \(x \leqslant 3\) убираем точку \(x = -2{,}5\):

\[x \in (-\infty;\ -2{,}5) \cup (-2{,}5;\ 3].\]

Ответ

\[x \in (-\infty;\ -2{,}5) \cup (-2{,}5;\ 3].\]

Ответ: \(x \in (-\infty;\ -2{,}5) \cup (-2{,}5;\ 3]\)