Идея решения

Основания \(8\) и \(2\) разные, поэтому сравнивать логарифмы напрямую нельзя. Но \(8 = 2^3\), а под левым логарифмом спрятан полный куб \((x-1)^3\) — и эти две тройки взаимно уничтожатся. Останется обычное линейное неравенство.

Шаг 1. Узнаём куб разности

Коэффициенты \(1,\ -3,\ 3,\ -1\) — это формула куба разности:

\[x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)^3.\]

Важно! Этот шаг решает всю задачу. Признак, по которому куб узнают мгновенно: первый и последний члены — точные кубы (\(x^3\) и \(1^3\)), а коэффициенты идут как \(1,\ 3,\ 3,\ 1\) со знаками через один.

Шаг 2. Область допустимых значений

\[\begin{cases}(x-1)^3 > 0,\\ x^2-1 > 0.\end{cases}\]

Куб положителен тогда же, когда и его основание, поэтому первое условие даёт \(x > 1\). Второе: \((x-1)(x+1) > 0\), то есть \(x < -1\) или \(x > 1\).

Пересечение:

\[\text{ОДЗ}:\quad x > 1.\]

Шаг 3. Приводим логарифмы к одному основанию

Переходим от основания \(8 = 2^3\) к основанию \(2\):

\[\log_8(x-1)^3 = \frac{\log_2 (x-1)^3}{\log_2 8} = \frac{3\log_2(x-1)}{3} = \log_2(x-1).\]

Важно! Тройка сверху и тройка снизу сократились только потому, что показатель степени под логарифмом и показатель в основании совпали. Если бы стояло, например, \(\log_8(x-1)^2\), никакого сокращения не было бы.

Шаг 4. Убираем пятёрку

Число \(5\) запишем как логарифм: \(5 = \log_2 32\). Тогда

\[\log_2\left(x^2-1\right) - 5 = \log_2\left(x^2-1\right) - \log_2 32 = \log_2\frac{x^2-1}{32}.\]

Неравенство принимает вид

\[\log_2(x-1) \geqslant \log_2\frac{x^2-1}{32}.\]

Шаг 5. Снимаем логарифмы

Основание \(2 > 1\), функция возрастает, знак сохраняется:

\[x-1 \geqslant \frac{x^2-1}{32} = \frac{(x-1)(x+1)}{32}.\]

На ОДЗ \(x > 1\), значит \(x - 1 > 0\), и на это положительное число можно поделить обе части, ничего не меняя:

\[1 \geqslant \frac{x+1}{32},\qquad x+1 \leqslant 32,\qquad x \leqslant 31.\]

Важно! Делить на \(x-1\) разрешено именно потому, что на ОДЗ этот множитель строго положителен. Если бы знак был неизвестен, пришлось бы переносить всё влево и раскладывать на множители.

Шаг 6. Пересекаем с ОДЗ

\[x \in (1;\ 31].\]

Ответ

\[x \in (1;\ 31].\]

Ответ: \(x \in (1;\ 31]\)