Идея решения

Главный соблазн — умножить обе части на знаменатель. Так делать нельзя: знак \(\log_5(x-5)\) заранее неизвестен. Правильный путь один — перенести единицу влево, привести к одной дроби и работать методом интервалов.

Шаг 1. Область допустимых значений

Оба логарифма должны существовать, а на нижний ещё и делят, поэтому он не должен обращаться в ноль:

\[\begin{cases}5x-27 > 0,\\ x-5 > 0,\\ \log_5(x-5) \neq 0.\end{cases}\]

Первое: \(x > 5{,}4\). Второе: \(x > 5\). Третье: \(x-5 \neq 1\), то есть \(x \neq 6\).

Условие \(x > 5{,}4\) сильнее, чем \(x > 5\), поэтому

\[\text{ОДЗ}:\quad x > 5{,}4,\qquad x \neq 6.\]

Важно! Условие \(x \neq 6\) забывают чаще всего. Логарифм в знаменателе — это не просто «что-то под логарифмом больше нуля»: сам логарифм не должен быть нулём. При \(x = 6\) получается \(\log_5 1 = 0\) и деление на ноль.

Шаг 2. Переносим единицу влево

\[\frac{\log_5(5x-27)}{\log_5(x-5)} - 1 \geqslant 0,\]

\[\frac{\log_5(5x-27) - \log_5(x-5)}{\log_5(x-5)} \geqslant 0.\]

Разность логарифмов с одинаковым основанием — логарифм частного:

\[\frac{\log_5\dfrac{5x-27}{x-5}}{\log_5(x-5)} \geqslant 0.\]

Важно! Умножать обе части исходного неравенства на \(\log_5(x-5)\) нельзя: на ОДЗ этот логарифм бывает и положительным, и отрицательным, а при умножении на отрицательное знак неравенства меняется. Перенос единицы влево эту проблему снимает полностью.

Шаг 3. Знак числителя

Логарифм по основанию \(5 > 1\) неотрицателен тогда и только тогда, когда его аргумент не меньше единицы:

\[\log_5\frac{5x-27}{x-5} \geqslant 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{5x-27}{x-5} \geqslant 1.\]

Переносим единицу и приводим к общему знаменателю:

\[\frac{5x-27}{x-5} - 1 \geqslant 0,\qquad \frac{5x-27-(x-5)}{x-5} \geqslant 0,\qquad \frac{4x-22}{x-5} \geqslant 0.\]

На ОДЗ \(x > 5{,}4\), поэтому \(x - 5 > 0\), и дробь неотрицательна ровно тогда, когда неотрицателен числитель:

\[4x - 22 \geqslant 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \geqslant 5{,}5.\]

Шаг 4. Знак знаменателя

\[\log_5(x-5) > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x-5 > 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x > 6,\]

а при \(5{,}4 < x < 6\) знаменатель отрицателен.

Шаг 5. Собираем знаки дроби

Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака (числителю при этом разрешено быть нулём).

На промежутке \((5{,}4;\ 6)\) знаменатель отрицателен, значит нужен неположительный числитель, то есть \(x \leqslant 5{,}5\). Получаем \((5{,}4;\ 5{,}5]\).

На промежутке \((6;\ +\infty)\) знаменатель положителен, значит нужен неотрицательный числитель, то есть \(x \geqslant 5{,}5\) — это выполнено на всём промежутке. Получаем \((6;\ +\infty)\).

Шаг 6. Проверяем концы

Точка \(x = 5{,}5\) входит: там числитель равен нулю, а вся дробь равна нулю, что неравенство \(\geqslant 0\) допускает. Точки \(x = 5{,}4\) и \(x = 6\) выколоты: первая не входит в ОДЗ, во второй знаменатель обращается в ноль.

Ответ

\[x \in (5{,}4;\ 5{,}5] \cup (6;\ +\infty).\]

Ответ: \(x \in (5{,}4;\ 5{,}5] \cup (6;\ +\infty)\)