Идея решения

Два логарифма слева складываются в один — и множитель \(4+3x-x^2\) при этом сократится. Но сократиться он имеет право только после того, как мы найдём область допустимых значений: именно там записан его знак. Поэтому сначала ОДЗ, и только потом преобразования.

Шаг 1. Раскладываем квадратный трёхчлен

Выражение \(4+3x-x^2\) встречается трижды, поэтому сразу разложим его на множители:

\[4+3x-x^2 = -\left(x^2-3x-4\right) = -(x-4)(x+1) = (4-x)(x+1).\]

Шаг 2. Область допустимых значений

Под каждым логарифмом должно стоять строго положительное число:

\[\begin{cases}(x-2)(4-x)(x+1) > 0,\\ \dfrac{6-x}{(4-x)(x+1)} > 0,\\ x+3 > 0.\end{cases}\]

Первое условие. Корни: \(-1\), \(2\), \(4\). Расставим знаки произведения \((x-2)(4-x)(x+1)\) на промежутках:

Получаем \(x < -1\) или \(2 < x < 4\).

Второе условие. Корни числителя и знаменателя: \(6\), \(4\), \(-1\).

Получаем \(-1 < x < 4\) или \(x > 6\).

Третье условие даёт \(x > -3\).

Пересекаем все три. Кусок \(x < -1\) из первого условия не проходит второе, кусок \(x > 6\) из второго не проходит первое. Остаётся

\[\text{ОДЗ}: \quad x \in (2;\ 4).\]

Важно! Здесь ОДЗ — половина задачи, а не формальность. После сокращения множитель \(4+3x-x^2\) из неравенства исчезнет, и если ОДЗ не найти, в ответ попадут лишние промежутки, на которых логарифмы вообще не существуют.

Шаг 3. Сворачиваем логарифмы

На ОДЗ все три выражения \(x-2\), \(4+3x-x^2\) и \(6-x\) положительны, поэтому сумму логарифмов можно записать как логарифм произведения:

\[\log_2\left((x-2)\left(4+3x-x^2\right)\cdot\frac{6-x}{4+3x-x^2}\right) = \log_2\left((x-2)(6-x)\right).\]

Правую часть тоже соберём в один логарифм. Так как \(-1 = \log_2\dfrac12\), получаем

\[-1 + \log_2(x+3) = \log_2\frac{x+3}{2}.\]

Неравенство принимает вид

\[\log_2\left((x-2)(6-x)\right) \leqslant \log_2\frac{x+3}{2}.\]

Шаг 4. Снимаем логарифмы

Основание \(2 > 1\), логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

\[(x-2)(6-x) \leqslant \frac{x+3}{2}.\]

Важно! Снимать логарифмы можно только после того, как ОДЗ уже записано отдельно. Само неравенство \((x-2)(6-x) \leqslant \dfrac{x+3}{2}\) «не помнит» про ограничения — их придётся учесть в самом конце.

Шаг 5. Решаем квадратное неравенство

\[2(x-2)(6-x) \leqslant x+3,\]

\[2\left(-x^2+8x-12\right) \leqslant x+3,\]

\[-2x^2+16x-24 \leqslant x+3,\]

\[0 \leqslant 2x^2-15x+27.\]

Найдём корни: \(D = 225 - 216 = 9\), \(\sqrt{D} = 3\),

\[x_{1,2} = \frac{15 \pm 3}{4} \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 3,\qquad x_2 = 4{,}5.\]

Ветви параболы направлены вверх, поэтому \(2x^2-15x+27 \geqslant 0\) вне корней:

\[x \leqslant 3 \quad\text{или}\quad x \geqslant 4{,}5.\]

Шаг 6. Пересекаем с ОДЗ

ОДЗ — это промежуток \((2;\ 4)\). Кусок \(x \geqslant 4{,}5\) с ним не пересекается совсем, а кусок \(x \leqslant 3\) даёт

\[x \in (2;\ 3].\]

Важно! Обратите внимание на концы. Точка \(x = 2\) в ответ не входит: там \(x-2=0\) и первый логарифм не существует. А точка \(x = 3\) входит: обе части равны \(\log_2 3\), а неравенство нестрогое.

Ответ

\[x \in (2;\ 3].\]

Ответ: \(x \in (2;\ 3]\)