Идея решения

Все образующие конуса равны — обозначим их \(l\). Тогда треугольники \(ASC\) и \(BSC\) равнобедренные с боковыми сторонами \(l\), и к каждому можно применить теорему косинусов. Сложив два равенства, получим \(AC^2 + BC^2\), а это по теореме Пифагора равно \(AB^2\): ведь \(AB\) — диаметр, значит угол \(ACB\) прямой. Дальше всё считается.

Пункт а). Шаг 1. Что дают условия

Пусть \(O\) — центр основания, \(R\) — радиус основания, \(l\) — образующая. Все образующие конуса равны:

\[SA = SB = SC = l.\]

Высота \(SO\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому проекция любой образующей на основание — это радиус, а угол между образующей и плоскостью основания — это угол при основании в прямоугольном треугольнике \(SOA\):

\[\angle SAO = 60^\circ,\qquad R = OA = l\cos 60^\circ = \frac{l}{2}.\]

Отсюда сразу получаем длину диаметра:

\[AB = 2R = l.\]

Важно! Угол между наклонной и плоскостью — это угол между самой наклонной и её проекцией на плоскость. Для образующей \(SA\) проекция — это радиус \(OA\), поэтому \(60^\circ\) — именно угол \(SAO\), а не угол при вершине конуса.

Шаг 2. Угол ACB прямой

Точка \(C\) лежит на окружности, а \(AB\) — диаметр этой окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

\[\angle ACB = 90^\circ.\]

По теореме Пифагора в треугольнике \(ACB\):

\[AC^2 + BC^2 = AB^2 = l^2.\]

Шаг 3. Теорема косинусов в двух треугольниках

В треугольнике \(ASC\): стороны \(SA = SC = l\), между ними угол \(ASC\). Тогда

\[AC^2 = l^2 + l^2 - 2l^2\cos\angle ASC = 2l^2\left(1 - \cos\angle ASC\right).\]

Аналогично в треугольнике \(BSC\):

\[BC^2 = 2l^2\left(1 - \cos\angle BSC\right).\]

Шаг 4. Складываем

\[AC^2 + BC^2 = 2l^2\left(2 - \cos\angle ASC - \cos\angle BSC\right).\]

Но левая часть равна \(l^2\) (шаг 2). Подставляем и делим обе части на \(2l^2\):

\[l^2 = 2l^2\left(2 - \cos\angle ASC - \cos\angle BSC\right),\]

\[\frac12 = 2 - \cos\angle ASC - \cos\angle BSC,\]

\[\cos\angle ASC + \cos\angle BSC = 2 - \frac12 = 1{,}5.\]

Пункт а) доказан.

Важно! Обратите внимание: образующая \(l\) сократилась. Значит, равенство верно для конуса любого размера — важен только угол \(60^\circ\), который задаёт отношение \(AB = l\).

Пункт б). Шаг 5. Размеры конуса

Теперь \(l = SC = 1\). По шагу 1:

\[R = \frac12,\qquad AB = 1,\qquad h = SO = l\sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.\]

Шаг 6. Стороны AC и BC

Из формулы шага 3 при \(l = 1\) и \(\cos\angle ASC = \dfrac23\):

\[AC^2 = 2\left(1 - \frac23\right) = \frac23.\]

По доказанному в пункте а):

\[\cos\angle BSC = 1{,}5 - \frac23 = \frac32 - \frac23 = \frac56,\]

\[BC^2 = 2\left(1 - \frac56\right) = \frac13.\]

Проверка: \(AC^2 + BC^2 = \dfrac23 + \dfrac13 = 1 = AB^2\) — всё сходится.

Шаг 7. Площадь основания тетраэдра

Треугольник \(ABC\) прямоугольный с прямым углом при \(C\), поэтому его катеты — это \(AC\) и \(BC\):

\[S_{ABC} = \frac12\cdot AC\cdot BC = \frac12\sqrt{AC^2\cdot BC^2} = \frac12\sqrt{\frac23\cdot\frac13} =\]

\[= \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{3} = \frac{\sqrt2}{6}.\]

Важно! Не нужно извлекать корни по отдельности: удобнее сразу перемножить квадраты и один раз взять корень. Меньше действий — меньше шансов ошибиться.

Шаг 8. Высота тетраэдра

Вершина тетраэдра — точка \(S\), основание — треугольник \(ABC\), который лежит в плоскости основания конуса. Расстояние от \(S\) до этой плоскости — это высота конуса:

\[h = \frac{\sqrt3}{2}.\]

Шаг 9. Объём

\[V = \frac13\,S_{ABC}\cdot h = \frac13\cdot\frac{\sqrt2}{6}\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\]

\[= \frac{\sqrt6}{36}.\]

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(\dfrac{\sqrt6}{36}\).

Ответ: б) \(\dfrac{\sqrt6}{36}\)