Идея решения

Задача разбивается на две плоские картинки. Сначала работаем в основании: продолжаем \(CE\) до пересечения со стороной \(AB\). Потом — в грани \(ABS\): там окажется пара равных отрезков, и сразу получится параллельность. Во втором пункте всё считается в плоскости \(SBD\).

Пункт а). Шаг 1. Куда попадает прямая CE

Прямая \(CE\) лежит в плоскости основания. Продолжим её до пересечения с прямой \(AB\) и обозначим точку пересечения \(P\).

Шаг 2. Находим AP

В прямоугольнике \(AB \parallel CD\), поэтому у треугольников \(PBE\) и \(CDE\) равны накрест лежащие углы, и они подобны. Коэффициент подобия — отношение

\[\frac{BE}{DE} = \frac{4}{9 - 4} = \frac45.\]

Значит,

\[PB = \frac45\cdot CD = \frac45\cdot 5 = 4,\]

\[AP = AB - PB = 5 - 4 = 1.\]

Шаг 3. Находим AF

На ребре \(AS\) дано \(SF = 4\), а само ребро \(AS = 5\), поэтому

\[AF = AS - SF = 1.\]

Шаг 4. Параллельность в грани ABS

В треугольнике \(ABS\):

\[\frac{AP}{AB} = \frac15,\qquad \frac{AF}{AS} = \frac15.\]

Отрезки отсекают на сторонах угла \(A\) пропорциональные части, значит,

\[PF \parallel SB.\]

Шаг 5. Вывод

Точка \(P\) лежит на прямой \(CE\), а значит, в плоскости \(CEF\); точка \(F\) тоже ей принадлежит. Поэтому прямая \(PF\) лежит в плоскости \(CEF\).

Прямая \(SB\) параллельна \(PF\) и не лежит в плоскости \(CEF\) (иначе точка \(S\) была бы в этой плоскости). По признаку параллельности прямой и плоскости

\[SB \parallel (CEF).\]

Пункт а) доказан.

Важно! Признак звучит так: если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, и сама в плоскости не лежит, то она параллельна плоскости. Оба условия обязательны.

Пункт б). Шаг 6. Высота пирамиды

Все боковые рёбра равны, значит, вершина \(S\) проецируется в точку, равноудалённую от всех вершин основания, — в центр описанной окружности. Для прямоугольника это точка \(O\) пересечения диагоналей.

\[OB = \frac{BD}{2} = 4{,}5,\]

\[SO = \sqrt{SB^2 - OB^2} =\]

\[= \sqrt{25 - 20{,}25} = \sqrt{4{,}75} = \frac{\sqrt{19}}{2}.\]

Шаг 7. Где находится точка Q

Точка \(E\) лежит на диагонали \(BD\), поэтому плоскость \(SBD\) содержит и точку \(E\), и прямую \(SB\).

Плоскость \(CEF\) параллельна \(SB\), значит, она пересекает плоскость \(SBD\) по прямой, параллельной \(SB\). Эта прямая проходит через \(E\) и пересекает ребро \(SD\) в точке \(Q\), поэтому

\[EQ \parallel SB.\]

Важно! Это стандартный приём: если плоскость параллельна прямой, то линия её пересечения с любой плоскостью, содержащей эту прямую, параллельна ей.

Шаг 8. Отношение, в котором Q делит SD

В треугольнике \(SBD\) отрезок \(EQ \parallel SB\), поэтому

\[\frac{DQ}{DS} = \frac{DE}{DB} = \frac{5}{9}.\]

Шаг 9. Расстояние от Q до плоскости основания

Точка \(D\) лежит в плоскости основания (её расстояние равно нулю), а расстояние от \(S\) равно высоте \(SO\). При движении по отрезку \(DS\) расстояние до плоскости растёт равномерно, поэтому

\[h_Q = \frac{DQ}{DS}\cdot SO = \frac59\cdot\frac{\sqrt{19}}{2} =\]

\[= \frac{5\sqrt{19}}{18}.\]

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(\dfrac{5\sqrt{19}}{18}\).

Ответ: б) \(\dfrac{5\sqrt{19}}{18}\)