Идея решения

Параллелепипед прямоугольный, поэтому его рёбра — готовые оси координат. Вводим координаты, и оба пункта превращаются в короткий счёт: в первом достаточно увидеть два параллельных вектора, во втором — найти нормали к плоскостям.

Пункт а). Шаг 1. Координаты вершин

Направим оси по рёбрам из вершины \(A\): ось \(x\) — вдоль \(AB\), ось \(y\) — вдоль \(AD\), ось \(z\) — вдоль \(AA_1\). Тогда

\[A(0;\ 0;\ 0),\quad B(2;\ 0;\ 0),\]

\[D(0;\ 6;\ 0),\quad A_1(0;\ 0;\ 6),\]

\[B_1(2;\ 0;\ 6),\quad C_1(2;\ 6;\ 6),\]

\[D_1(0;\ 6;\ 6).\]

Шаг 2. Координаты точек E, F, T

Точка \(E\) лежит на \(AA_1\) и делит его в отношении \(A_1E : EA = 1 : 2\), считая от вершины \(A_1\). Значит,

\[A_1E = \frac13\cdot 6 = 2,\]

то есть \(E\) находится на высоте \(6 - 2 = 4\):

\[E(0;\ 0;\ 4).\]

Важно! Порядок букв в отношении показывает, от какой вершины считать. Если взять \(AE : EA_1 = 1 : 2\), получится другая точка \(E(0;0;2)\) — и всё решение развалится.

Точка \(F\) на ребре \(BB_1\), \(B_1F : FB = 1 : 5\), поэтому

\[B_1F = \frac16\cdot 6 = 1,\qquad F(2;\ 0;\ 5).\]

Точка \(T\) — середина \(B_1C_1\):

\[T(2;\ 3;\ 6).\]

Шаг 3. Два параллельных вектора

\[\vec{ED_1} = (0 - 0;\ 6 - 0;\ 6 - 4) = (0;\ 6;\ 2),\]

\[\vec{FT} = (2 - 2;\ 3 - 0;\ 6 - 5) = (0;\ 3;\ 1).\]

Видно, что

\[\vec{ED_1} = 2\,\vec{FT},\]

то есть прямые \(ED_1\) и \(FT\) параллельны. Совпасть они не могут: точка \(E\) лежит на ребре \(AA_1\), а прямая \(FT\) — в плоскости \(x = 2\).

Шаг 4. Вывод

Через две параллельные прямые проходит ровно одна плоскость. В ней лежат все четыре точки \(E\), \(D_1\), \(F\), \(T\). Значит, плоскость \(EFT\) содержит вершину \(D_1\). Пункт а) доказан.

Пункт б). Шаг 5. Нормаль к плоскости EFT

Берём два вектора в плоскости:

\[\vec{EF} = (2;\ 0;\ 1),\qquad \vec{ET} = (2;\ 3;\ 2).\]

Их векторное произведение и будет нормалью:

\[\vec n = \vec{EF}\times\vec{ET} =\]

\[= \big(0\cdot 2 - 1\cdot 3;\ 1\cdot 2 - 2\cdot 2;\]

\[2\cdot 3 - 0\cdot 2\big) = (-3;\ -2;\ 6).\]

Длина нормали:

\[|\vec n| = \sqrt{9 + 4 + 36} = 7.\]

Шаг 6. Нормаль ко второй плоскости

Плоскость \(AA_1B_1\) — это координатная плоскость \(y = 0\): у точек \(A\), \(A_1\), \(B_1\) вторая координата равна нулю. Её нормаль

\[\vec m = (0;\ 1;\ 0).\]

Шаг 7. Угол между плоскостями

\[\cos\varphi = \frac{\left|\vec n\cdot\vec m\right|}{|\vec n|\cdot|\vec m|} =\]

\[= \frac{|-2|}{7\cdot 1} = \frac27,\]

\[\varphi = \arccos\frac27.\]

Важно! В числителе стоит модуль: угол между плоскостями берут острый. Без модуля можно получить тупой угол и потерять балл.

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(\varphi = \arccos\dfrac27\).

Ответ: б) \(\arccos\dfrac27\)