Идея решения

Призма прямая, поэтому всё сводится к основанию: у точки \(K\) есть «тень» на основании — середина \(AB\). Перпендикулярность доказывается теоремой о трёх перпендикулярах, а угол с плоскостью считается как \(\sin\varphi = \dfrac{\text{расстояние до плоскости}}{\text{длина наклонной}}\).

Пункт а). Шаг 1. Проекция точки K

Призма прямая, значит, боковые рёбра перпендикулярны основанию. Обозначим через \(K_0\) середину ребра \(AB\). Тогда отрезок \(KK_0\) параллелен боковому ребру \(AA_1\) и равен ему, поэтому

\[KK_0 \perp (ABC),\]

то есть \(K_0\) — проекция точки \(K\) на плоскость основания.

Шаг 2. Где стоит точка M

Треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)), поэтому высота, проведённая из \(B\), попадает в середину основания \(AC\). Обозначим эту середину \(H_0\):

\[AH_0 = \frac{AC}{2}.\]

В треугольнике \(ABH_0\) точка \(K_0\) — середина стороны \(AB\). Проведём из \(K_0\) отрезок, параллельный \(BH_0\). Это средняя линия, и она попадает в середину \(AH_0\), то есть на расстояние \(\dfrac{AC}{4}\) от точки \(A\).

Но по условию

\[AM = \frac{AC}{4},\]

значит, именно \(M\) и есть эта точка, и

\[K_0M \parallel BH_0,\qquad K_0M \perp AC.\]

Шаг 3. Теорема о трёх перпендикулярах

Отрезок \(KM\) — наклонная к плоскости основания, \(K_0M\) — её проекция. Проекция перпендикулярна прямой \(AC\), значит, и сама наклонная перпендикулярна \(AC\):

\[KM \perp AC.\]

Пункт а) доказан.

Важно! В теореме о трёх перпендикулярах проверяется перпендикулярность проекции. Проверять «на глаз» саму наклонную нельзя.

Пункт б). Шаг 4. Длина KM

Считаем высоту основания из вершины \(B\):

\[BH_0 = \sqrt{AB^2 - AH_0^2} = \sqrt{36 - 16} = 2\sqrt5.\]

Отрезок \(K_0M\) — средняя линия треугольника \(ABH_0\), поэтому

\[K_0M = \frac{BH_0}{2} = \sqrt5.\]

Треугольник \(KK_0M\) прямоугольный (\(KK_0 \perp\) основанию), \(KK_0 = AA_1 = 3\), значит,

\[KM = \sqrt{KK_0^2 + K_0M^2} =\]

\[= \sqrt{9 + 5} = \sqrt{14}.\]

Шаг 5. Расстояние от M до плоскости ABB₁

Плоскость \(ABB_1\) содержит боковое ребро \(BB_1\), перпендикулярное основанию, поэтому она сама перпендикулярна основанию и пересекает его по прямой \(AB\).

Значит, расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABB_1\) равно расстоянию от \(M\) до прямой \(AB\) внутри основания. Обозначим основание этого перпендикуляра \(F\).

Найдём \(MF\) через площадь треугольника \(ABM\). С одной стороны, за основание берём \(AM\), а высотой служит высота \(BH_0\) (она опущена на прямую \(AC\), на которой лежит \(AM\)):

\[S_{ABM} = \frac12\cdot AM\cdot BH_0 =\]

\[= \frac12\cdot 2\cdot 2\sqrt5 = 2\sqrt5.\]

С другой стороны, за основание можно взять \(AB\):

\[S_{ABM} = \frac12\cdot AB\cdot MF = 3\,MF.\]

Приравниваем:

\[3\,MF = 2\sqrt5,\qquad MF = \frac{2\sqrt5}{3}.\]

Шаг 6. Сам угол

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Здесь проекция прямой \(KM\) на плоскость \(ABB_1\) — это прямая \(KF\), поэтому искомый угол — это \(\angle MKF\), а треугольник \(MFK\) прямоугольный (угол при \(F\) прямой).

Тогда

\[\sin\varphi = \frac{MF}{KM} = \frac{\frac{2\sqrt5}{3}}{\sqrt{14}} =\]

\[= \frac{2\sqrt5}{3\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{70}}{42} = \frac{\sqrt{70}}{21},\]

\[\varphi = \arcsin\frac{\sqrt{70}}{21}.\]

Важно! Синус угла между наклонной и плоскостью — это всегда отношение расстояния от точки до плоскости к длине наклонной. Считать через косинус здесь опаснее: легко взять не ту проекцию.

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(\varphi = \arcsin\dfrac{\sqrt{70}}{21}\).

Ответ: б) \(\arcsin\dfrac{\sqrt{70}}{21}\)