В основании правильной треугольной пирамиды \(ABCD\) лежит треугольник \(ABC\) со стороной, равной \(6\). Боковое ребро пирамиды равно \(5\). На ребре \(AD\) отмечена точка \(T\) так, что \(AT : TD = 2 : 1\). Через точку \(T\) параллельно прямым \(AC\) и \(BD\) проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Идея решения
Работает одно свойство: если плоскость параллельна прямой, лежащей в грани, то она пересекает эту грань по прямой, параллельной ей. Отсюда сразу получится параллелограмм. А чтобы он оказался прямоугольником, докажем, что \(AC \perp BD\) — это правда для любой правильной треугольной пирамиды.
Пункт а). Шаг 1. Строим сечение
Секущая плоскость проходит через точку \(T\) и параллельна двум скрещивающимся прямым — \(AC\) и \(BD\). Найдём, по каким отрезкам она пересекает грани пирамиды.
Грань \(ACD\) содержит прямую \(AC\) и точку \(T\). Плоскость параллельна \(AC\), поэтому пересекает эту грань по отрезку, параллельному \(AC\). Пусть он пересекает ребро \(CD\) в точке \(S\):
\[TS \parallel AC.\]
Грань \(ABD\) содержит прямую \(BD\) и ту же точку \(T\). Значит,
\[TP \parallel BD,\qquad P \in AB.\]
Грань \(ABC\) содержит \(AC\) и точку \(P\):
\[PQ \parallel AC,\qquad Q \in BC.\]
Грань \(BCD\) содержит \(BD\) и точки \(Q\), \(S\):
\[QS \parallel BD.\]
Шаг 2. Сечение — параллелограмм
В четырёхугольнике \(PTSQ\):
\[PT \parallel BD \parallel SQ,\qquad TS \parallel AC \parallel QP.\]
Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, \(PTSQ\) — параллелограмм.
Шаг 3. Ключевой факт: AC ⊥ BD
Пусть \(M\) — середина ребра \(AC\).
Треугольник \(ABC\) равносторонний, поэтому медиана \(BM\) является высотой:
\[BM \perp AC.\]
Пирамида правильная, поэтому \(DA = DC\), и треугольник \(ADC\) равнобедренный. Его медиана \(DM\) тоже высота:
\[DM \perp AC.\]
Прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BM\) и \(DM\) плоскости \(BMD\), значит,
\[AC \perp (BMD).\]
Прямая \(BD\) лежит в плоскости \(BMD\), поэтому
\[AC \perp BD.\]
Важно! Признак перпендикулярности прямой и плоскости требует двух пересекающихся прямых. Одной прямой недостаточно — это типичная потеря балла.
Шаг 4. Параллелограмм с прямыми углами
Стороны \(PT\) и \(TS\) параллельны перпендикулярным прямым \(BD\) и \(AC\), значит, они сами перпендикулярны:
\[PT \perp TS.\]
Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. Пункт а) доказан.
Пункт б). Шаг 5. Сторона PT
В грани \(ABD\) отрезок \(TP\) параллелен \(BD\), поэтому треугольники \(ATP\) и \(ADB\) подобны с коэффициентом
\[\frac{AT}{AD} = \frac{2}{3}.\]
Значит,
\[PT = \frac23 BD = \frac23\cdot 5 = \frac{10}{3}.\]
Шаг 6. Сторона TS
В грани \(ACD\) отрезок \(TS\) параллелен \(AC\), поэтому треугольники \(DTS\) и \(DAC\) подобны с коэффициентом
\[\frac{DT}{DA} = \frac{1}{3}.\]
Значит,
\[TS = \frac13 AC = \frac13\cdot 6 = 2.\]
Важно! Коэффициенты разные: для \(PT\) считаем от вершины \(A\) (\(\frac23\)), а для \(TS\) — от вершины \(D\) (\(\frac13\)). Если взять один и тот же коэффициент, ответ будет неверным.
Шаг 7. Площадь
\[S = PT\cdot TS = \frac{10}{3}\cdot 2 = \frac{20}{3}.\]
Ответ по пунктам
а) доказано; б) \(S = \dfrac{20}{3}\).
Ответ: б) \(S = \dfrac{20}{3}\)