Идея решения

Основания высот всегда «сидят» на окружностях: если угол прямой, точка лежит на окружности с диаметром — стороне. Через эти окружности угол \(\angle KNH\) выражается через угол \(B\). А дальше обычная тригонометрия: два данных отрезка дают две стороны треугольника.

Пункт а). Шаг 1. Две окружности

Угол \(\angle BKC = 90^\circ\) (так как \(CK\) — высота) и \(\angle BNC = 90^\circ\) (так как \(BN\) — высота). Оба угла опираются на отрезок \(BC\), значит, точки \(K\) и \(N\) лежат на окружности с диаметром \(BC\):

\[B,\ K,\ N,\ C - \text{на одной окружности}.\]

Точно так же \(\angle ANB = 90^\circ\) и \(\angle AHB = 90^\circ\), поэтому точки \(N\) и \(H\) лежат на окружности с диаметром \(AB\):

\[A,\ N,\ H,\ B - \text{на одной окружности}.\]

Шаг 2. Два равных угла при вершине N

Четырёхугольник \(BKNC\) вписан в окружность, поэтому его противоположные углы \(\angle KNC\) и \(\angle KBC\) в сумме дают \(180^\circ\). Угол \(\angle ANK\) смежный с \(\angle KNC\), значит,

\[\angle ANK = 180^\circ - \angle KNC = \angle KBC = \angle B.\]

Точно так же четырёхугольник \(ANHB\) вписан в окружность, его противоположные углы \(\angle ANH\) и \(\angle ABH\) в сумме дают \(180^\circ\), поэтому

\[\angle HNC = 180^\circ - \angle ANH = \angle ABH = \angle B.\]

Важно! Приём «внешний угол вписанного четырёхугольника равен противоположному внутреннему» экономит много времени. Он следует из того, что сумма противоположных углов равна \(180^\circ\).

Шаг 3. Считаем угол KNH

Точки \(A\), \(N\), \(C\) лежат на одной прямой, поэтому три угла при вершине \(N\) составляют развёрнутый угол:

\[\angle ANK + \angle KNH + \angle HNC = 180^\circ,\]

\[\angle KNH = 180^\circ - 2\angle B.\]

По условию \(\angle KNH = 60^\circ\), значит,

\[180^\circ - 2\angle B = 60^\circ,\qquad \angle B = 60^\circ.\]

Пункт а) доказан.

Пункт б). Шаг 4. Находим сторону AB

Точка \(H\) — основание высоты из \(A\), поэтому треугольник \(ABH\) прямоугольный, и

\[BH = AB\cos B.\]

Подставляем \(BH = 2\), \(\cos 60^\circ = \frac12\):

\[2 = AB\cdot\frac12,\qquad AB = 4.\]

Шаг 5. Находим сторону BC

Точка \(K\) — основание высоты из \(C\), поэтому треугольник \(BKC\) прямоугольный, и

\[BK = BC\cos B = \frac{BC}{2}.\]

Точка \(K\) лежит на стороне \(AB\) (треугольник остроугольный), поэтому

\[AK = AB - BK,\]

\[1 = 4 - \frac{BC}{2},\qquad BC = 6.\]

Важно! Условие «остроугольный» нужно именно здесь: только тогда основания высот лежат на сторонах, и можно писать \(AK = AB - BK\).

Шаг 6. Третья сторона

По теореме косинусов для угла \(B\):

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB\cdot BC\cos B =\]

\[= 16 + 36 - 2\cdot 4\cdot 6\cdot\frac12 =\]

\[= 52 - 24 = 28,\]

\[AC = 2\sqrt7.\]

Шаг 7. Радиус описанной окружности

По теореме синусов

\[2R = \frac{AC}{\sin B} = \frac{2\sqrt7}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{4\sqrt7}{\sqrt3},\]

\[R = \frac{2\sqrt7}{\sqrt3} = \frac{2\sqrt{21}}{3}.\]

Важно! Сторона \(AC\) лежит против угла \(B\) — именно эту пару и надо подставлять в теорему синусов.

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\).

Ответ: б) \(R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)