Идея решения

Три середины и основание высоты — это знаменитая «окружность девяти точек». Но доказывать её целиком не нужно: достаточно увидеть, что \(B_1C_1A_1H\) — равнобедренная трапеция, а около равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность. Во втором пункте просто считаем два отрезка на прямой \(BC\) и вычитаем.

Пункт а). Шаг 1. Средняя линия

Отрезок \(B_1C_1\) соединяет середины сторон \(AC\) и \(AB\), то есть это средняя линия треугольника. Значит,

\[B_1C_1 \parallel BC,\qquad B_1C_1 = \frac{BC}{2}.\]

Точки \(A_1\) и \(H\) лежат на прямой \(BC\), поэтому

\[B_1C_1 \parallel A_1H,\]

и четырёхугольник \(B_1C_1A_1H\) — трапеция (или, если \(H\) совпадёт с \(A_1\), вырожденный случай; при данных углах этого не происходит).

Шаг 2. Боковая сторона C₁H

Высота \(AH\) даёт прямой угол: \(\angle AHB = 90^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(ABH\) отрезок \(C_1H\) — медиана к гипотенузе \(AB\), а медиана к гипотенузе равна её половине:

\[C_1H = \frac{AB}{2}.\]

Важно! Именно здесь «работает» высота: точка \(H\) — вершина прямого угла, а \(C_1\) — середина гипотенузы \(AB\). Без этого шага задача не получается.

Шаг 3. Боковая сторона A₁B₁

Отрезок \(A_1B_1\) соединяет середины сторон \(BC\) и \(AC\), то есть это средняя линия, параллельная \(AB\):

\[A_1B_1 = \frac{AB}{2}.\]

Шаг 4. Трапеция равнобедренная

Сравнивая шаги 2 и 3:

\[C_1H = A_1B_1 = \frac{AB}{2}.\]

У трапеции \(B_1C_1A_1H\) боковые стороны равны, значит, она равнобедренная. А около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Значит, точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности. Пункт а) доказан.

Важно! Признак «около трапеции можно описать окружность» работает только для равнобедренной трапеции. Поэтому и нужно равенство боковых сторон, а не просто параллельность оснований.

Пункт б). Шаг 5. Находим стороны

Дано \(BC = 2\sqrt3\), \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle C = 45^\circ\). Тогда

\[\angle B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ.\]

По теореме синусов

\[2R = \frac{BC}{\sin A} = \frac{2\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}} = 4,\]

\[AC = 2R\sin B = 4\sin 75^\circ.\]

Синус \(75^\circ\) считаем по формуле синуса суммы:

\[\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) =\]

\[= \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\]

\[= \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4},\]

\[AC = \sqrt6 + \sqrt2.\]

Шаг 6. Два отрезка на прямой BC

В прямоугольном треугольнике \(AHC\) (угол \(H\) прямой)

\[CH = AC\cos 45^\circ =\]

\[= \left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\]

\[= \frac{\sqrt{12} + 2}{2} = \sqrt3 + 1.\]

Точка \(A_1\) — середина \(BC\), поэтому

\[CA_1 = \frac{BC}{2} = \sqrt3.\]

Шаг 7. Ответ пункта б)

Обе точки отсчитываются от \(C\) по одной прямой, поэтому

\[A_1H = CH - CA_1 = \sqrt3 + 1 - \sqrt3 = 1.\]

Важно! Порядок точек на прямой: \(C\), затем \(A_1\), затем \(H\) (так как \(CH > CA_1\)). Если перепутать порядок, знак разности получится отрицательным.

Полезно заметить

Работает и общая формула: расстояние от середины стороны до основания высоты равно

\[A_1H = \frac{\left|AC^2 - AB^2\right|}{2\cdot BC}.\]

Здесь \(AC^2 = 8 + 4\sqrt3\), \(AB^2 = 8\), \(BC = 2\sqrt3\), и снова получается \(1\).

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(A_1H = 1\).

Ответ: б) \(A_1H = 1\)