Идея решения

Треугольник равнобедренный, значит, две его высоты симметричны — отсюда получится, что \(TH \parallel AC\). Точки \(M\) и \(K\) — основания перпендикуляров из \(H\), поэтому они вместе с \(A\) и \(H\) лежат на одной окружности. Из этих двух фактов выйдет, что \(TMHE\) — прямоугольник, а в прямоугольнике сразу видно и равенство диагоналей, и параллельность сторон.

Шаг 1. Что дано

Высоты проведены к боковым сторонам \(BC\) и \(AB\), значит, боковые стороны — это \(AB\) и \(BC\), а основание — \(AC\). Поэтому

\[AB = BC,\qquad \angle A = \angle C = \alpha.\]

Важно! Сначала разберитесь, какие стороны боковые. Здесь это написано неявно — через то, к каким сторонам проведены высоты.

Шаг 2. TH параллельно AC

Прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(CBT\) равны: у них общий угол \(B\) и равные гипотенузы \(AB = CB\). Значит,

\[BH = BT.\]

Тогда в треугольнике \(ABC\)

\[\frac{BT}{BA} = \frac{BH}{BC},\]

и по теореме, обратной теореме Фалеса,

\[TH \parallel AC.\]

Шаг 3. Прямоугольный треугольник TMH

По условию \(HM \perp AB\), значит, \(\angle TMH = 90^\circ\) (точки \(T\) и \(M\) лежат на прямой \(AB\)).

Угол этого треугольника при вершине \(T\) — это угол между \(TH\) и прямой \(AB\). Но \(TH \parallel AC\), поэтому он равен углу между \(AC\) и \(AB\), то есть углу \(\alpha\).

Отсюда

\[MH = MT\cdot\operatorname{tg}\alpha.\]

Шаг 4. Окружность с диаметром AH

\(\angle AMH = 90^\circ\) и \(\angle AKH = 90^\circ\), потому что \(HM \perp AB\) и \(HK \perp AC\). Оба угла опираются на отрезок \(AH\), значит, точки \(M\) и \(K\) лежат на окружности с диаметром \(AH\) — вместе с \(A\) и \(H\).

Шаг 5. Под каким углом MK пересекает AB

Вписанные углы \(\angle HMK\) и \(\angle HAK\) опираются на одну и ту же дугу \(HK\), поэтому

\[\angle HMK = \angle HAK.\]

Найдём \(\angle HAK\). В треугольнике \(AHC\) угол \(AHC\) прямой (ведь \(AH \perp BC\)), а угол \(ACH\) равен \(\alpha\). Значит,

\[\angle HAK = \angle HAC = 90^\circ - \alpha,\]

\[\angle HMK = 90^\circ - \alpha.\]

Так как \(MH \perp AB\), угол между прямой \(MK\) и прямой \(AB\) равен

\[90^\circ - \left(90^\circ - \alpha\right) = \alpha.\]

Шаг 6. Прямоугольный треугольник MTE

Отрезок \(CT\) перпендикулярен \(AB\), а точка \(E\) лежит на \(CT\). Значит, в треугольнике \(MTE\) угол при вершине \(T\) прямой, а угол при вершине \(M\) равен \(\alpha\) (шаг 5). Поэтому

\[TE = MT\cdot\operatorname{tg}\alpha.\]

Шаг 7. TMHE — прямоугольник

Сравним шаги 3 и 6:

\[TE = MH.\]

При этом \(TE \perp AB\) и \(MH \perp AB\), то есть \(TE \parallel MH\). В четырёхугольнике \(TMHE\) стороны \(MH\) и \(ET\) параллельны и равны, значит, это параллелограмм. А угол при вершине \(M\) прямой, поэтому

\[TMHE - \text{прямоугольник}.\]

Шаг 8. Диагонали прямоугольника равны

В прямоугольнике диагонали равны. Диагонали четырёхугольника \(TMHE\) — это отрезки \(TH\) и \(ME\), поэтому

\[TH = ME.\]

Пункт а) доказан.

Пункт б). Шаг 9. Основные величины

Теперь \(AB = BC = 13\), \(AC = 10\).

Высота из вершины \(B\) делит основание пополам, поэтому

\[\cos\alpha = \frac{AC/2}{AB} = \frac{5}{13},\qquad \sin\alpha = \frac{12}{13}.\]

Высота из \(B\) равна \(\sqrt{13^2 - 5^2} = 12\), значит, площадь

\[S = \frac12\cdot 10\cdot 12 = 60.\]

Отсюда высота \(AH\), проведённая к стороне \(BC\):

\[AH = \frac{2S}{BC} = \frac{120}{13}.\]

Шаг 10. Длина TH

В прямоугольном треугольнике \(ATC\) (угол \(T\) прямой)

\[AT = AC\cos\alpha = 10\cdot\frac{5}{13} = \frac{50}{13},\]

\[BT = AB - AT = 13 - \frac{50}{13} = \frac{119}{13}.\]

Треугольники \(BTH\) и \(BAC\) подобны (общий угол \(B\) и \(BT : BA = BH : BC\)), причём коэффициент подобия равен

\[\frac{BT}{BA} = \frac{119}{13\cdot 13} = \frac{119}{169}.\]

Значит,

\[TH = AC\cdot\frac{119}{169} = \frac{1190}{169}.\]

Шаг 11. Длина MK

Отрезок \(MK\) — хорда окружности с диаметром \(AH\), а вписанный угол \(\angle MAK\), опирающийся на неё, равен \(\alpha\). Поэтому

\[MK = AH\cdot\sin\alpha = \frac{120}{13}\cdot\frac{12}{13} = \frac{1440}{169}.\]

Важно! Хорда равна диаметру, умноженному на синус вписанного угла, который на неё опирается: \(MK = 2R\sin\angle MAK\), а здесь \(2R = AH\).

Шаг 12. Считаем \(EK\)

Точка \(E\) лежит между \(M\) и \(K\), поэтому

\[MK = ME + EK.\]

По шагу 8 \(ME = TH\), значит,

\[EK = MK - TH =\]

\[= \frac{1440}{169} - \frac{1190}{169} = \frac{250}{169}.\]

Важно! Здесь используется, что \(E\) — внутренняя точка отрезка \(MK\). На чертеже это видно, но в решении лучше написать об этом отдельной строкой.

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(EK = \dfrac{250}{169}\).

Ответ: б) \(EK = \dfrac{250}{169}\)