Идея решения

Все точки заданы отношениями на сторонах — значит, их удобно записать через два вектора \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). Тогда «параллелограмм» превращается в равенство двух векторов, а «перпендикулярность» — в равенство нулю скалярного произведения. Никаких хитрых построений не потребуется.

Пункт а). Шаг 1. Вводим векторы

Обозначим

\[\vec{b} = \vec{AB},\qquad \vec{c} = \vec{AC}.\]

Все точки будем задавать векторами из вершины \(A\).

Шаг 2. Записываем точки

Точка \(C_1\) делит \(AB\) в отношении \(8 : 3\) от \(A\), то есть \(AC_1 = \frac{8}{11}AB\):

\[\vec{AC_1} = \frac{8}{11}\vec{b}.\]

Точка \(B_1\) делит \(AC\) в отношении \(1 : 3\) от \(A\), то есть \(AB_1 = \frac14 AC\):

\[\vec{AB_1} = \frac14\vec{c}.\]

Точка \(A_1\) делит \(BC\) в отношении \(1 : 2\) от \(B\), то есть \(\vec{BA_1} = \frac13\vec{BC}\):

\[\vec{AA_1} = \vec{b} + \frac13\left(\vec{c} - \vec{b}\right) =\]

\[= \frac23\vec{b} + \frac13\vec{c}.\]

Важно! Отношение \(1 : 2\) «от \(B\)» означает, что точка стоит на трети пути от \(B\) к \(C\), а не на половине. Здесь путают чаще всего.

Шаг 3. Ищем точку D

Точка \(D\) лежит на \(BB_1\):

\[\vec{AD} = \vec{b} + t\left(\frac14\vec{c} - \vec{b}\right) =\]

\[= (1-t)\vec{b} + \frac{t}{4}\vec{c}.\]

Она же лежит на \(CC_1\):

\[\vec{AD} = \vec{c} + s\left(\frac{8}{11}\vec{b} - \vec{c}\right) =\]

\[= \frac{8s}{11}\vec{b} + (1-s)\vec{c}.\]

Векторы \(\vec b\) и \(\vec c\) не параллельны, поэтому разложение по ним единственно, и коэффициенты можно приравнять:

\[1 - t = \frac{8s}{11},\qquad \frac{t}{4} = 1 - s.\]

Из второго уравнения \(t = 4 - 4s\). Подставляем в первое:

\[1 - 4 + 4s = \frac{8s}{11},\]

\[-33 + 44s = 8s,\qquad s = \frac{11}{12},\]

\[t = \frac13.\]

Значит,

\[\vec{AD} = \frac23\vec{b} + \frac{1}{12}\vec{c}.\]

Важно! Приравнивать коэффициенты можно только потому, что \(\vec b\) и \(\vec c\) неколлинеарны (иначе треугольника бы не было). Это обязательно упомянуть в решении.

Шаг 4. Сравниваем два вектора

\[\vec{B_1A_1} = \vec{AA_1} - \vec{AB_1} =\]

\[= \frac23\vec{b} + \frac13\vec{c} - \frac14\vec{c} =\]

\[= \frac23\vec{b} + \frac{1}{12}\vec{c}.\]

Получилось ровно то же, что и \(\vec{AD}\):

\[\vec{AD} = \vec{B_1A_1}.\]

Равенство векторов означает, что отрезки \(AD\) и \(B_1A_1\) параллельны, равны по длине и одинаково направлены. А если в четырёхугольнике одна пара сторон параллельна и равна, то это параллелограмм. Значит, \(ADA_1B_1\) — параллелограмм. Пункт а) доказан.

Другой взгляд (без векторов)

Из \(t = \frac13\) следует \(BD : DB_1 = 1 : 2\). Но и \(BA_1 : A_1C = 1 : 2\). Значит, в треугольнике \(BB_1C\) точки \(D\) и \(A_1\) делят стороны \(BB_1\) и \(BC\) в одинаковом отношении, и по теореме Фалеса \(DA_1 \parallel B_1C\), то есть \(DA_1 \parallel AC\). При этом

\[DA_1 = \frac13 B_1C = \frac13\cdot\frac34 AC = \frac14 AC = AB_1,\]

то есть \(DA_1\) и \(AB_1\) параллельны и равны — снова параллелограмм.

Пункт б). Шаг 5. Что означает перпендикулярность

Обозначим \(AB = m\), \(AC = n = 16\). Тогда

\[\vec b\cdot\vec b = m^2,\qquad \vec c\cdot\vec c = n^2,\]

\[\vec b\cdot\vec c = mn\cos A.\]

Условие \(AD \perp BC\) означает

\[\vec{AD}\cdot\vec{BC} = 0,\qquad \vec{BC} = \vec c - \vec b.\]

Шаг 6. Раскрываем скалярное произведение

\[\left(\frac23\vec b + \frac{1}{12}\vec c\right)\cdot\left(\vec c - \vec b\right) = 0,\]

\[\frac23\left(\vec b\cdot\vec c\right) - \frac23 m^2 +\]

\[+\ \frac{1}{12}n^2 - \frac{1}{12}\left(\vec b\cdot\vec c\right) = 0.\]

Собираем подобные (\(\frac23 - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\)) и умножаем всё на 12:

\[7\left(\vec b\cdot\vec c\right) = 8m^2 - n^2.\]

Шаг 7. Подключаем теорему косинусов

\[BC^2 = \left|\vec c - \vec b\right|^2 =\]

\[= m^2 + n^2 - 2\left(\vec b\cdot\vec c\right) = 225,\]

\[\vec b\cdot\vec c = \frac{m^2 + n^2 - 225}{2}.\]

Шаг 8. Находим AB

Подставляем в равенство шага 6:

\[\frac72\left(m^2 + n^2 - 225\right) = 8m^2 - n^2,\]

\[7m^2 + 7n^2 - 1575 = 16m^2 - 2n^2,\]

\[9n^2 - 9m^2 = 1575,\qquad n^2 - m^2 = 175.\]

Так как \(n = 16\), то

\[m^2 = 256 - 175 = 81,\qquad AB = 9.\]

Шаг 9. Угол A

\[\cos A = \frac{m^2 + n^2 - 225}{2mn} =\]

\[= \frac{81 + 256 - 225}{2\cdot 9\cdot 16} = \frac{112}{288} = \frac{7}{18},\]

\[\sin A = \sqrt{1 - \frac{49}{324}} = \frac{5\sqrt{11}}{18}.\]

Важно! Синус берём со знаком «плюс»: угол треугольника лежит между \(0^\circ\) и \(180^\circ\), а там синус положителен.

Шаг 10. Радиус описанной окружности

По теореме синусов

\[\frac{BC}{\sin A} = 2R,\]

\[R = \frac{15}{2\cdot\frac{5\sqrt{11}}{18}} = \frac{15\cdot 18}{10\sqrt{11}} =\]

\[= \frac{27}{\sqrt{11}} = \frac{27\sqrt{11}}{11}.\]

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(R = \dfrac{27\sqrt{11}}{11}\).

Ответ: б) \(R = \dfrac{27\sqrt{11}}{11}\)