Идея решения

Слово «основание» в равнобедренном треугольнике указывает, какие стороны боковые. Из двух условий сразу получится, что три отрезка равны: \(AB = BD = BC\). Дальше работают равнобедренный треугольник и накрест лежащие углы. Во втором пункте — короткий счёт в координатах.

Пункт а). Шаг 1. Что даёт «основание AD»

Треугольник \(ABD\) равнобедренный с основанием \(AD\). Значит, боковые стороны равны:

\[AB = BD.\]

Шаг 2. Что даёт «основание CD»

Треугольник \(BCD\) равнобедренный с основанием \(CD\), поэтому

\[BC = BD.\]

Складывая два вывода:

\[AB = BD = BC.\]

Важно! Основание — это сторона, против которой лежит вершина; боковые стороны — две другие. Если перепутать и написать \(AD = BD\), решение сразу уйдёт не туда.

Шаг 3. Равные углы

Треугольник \(ABC\) равнобедренный: \(AB = BC\). Значит, углы при основании \(AC\) равны:

\[\angle BAC = \angle BCA.\]

Шаг 4. Накрест лежащие углы

В трапеции \(BC \parallel AD\), а \(AC\) — секущая. Тогда

\[\angle BCA = \angle CAD\]

как накрест лежащие.

Шаг 5. Вывод

Из шагов 3 и 4

\[\angle BAC = \angle CAD,\]

то есть луч \(AC\) делит угол \(BAD\) пополам — это биссектриса. Пункт а) доказан.

Пункт б). Шаг 6. Координаты

Обозначим \(m = BD = AB = BC = 8{,}5\) и поставим основание \(AD\) на ось абсцисс:

\[A(0;\ 0),\quad D(d;\ 0),\quad B(x;\ h),\quad C(x + m;\ h).\]

(Точка \(C\) сдвинута от \(B\) ровно на \(BC = m\) вправо, потому что \(BC \parallel AD\).)

Шаг 7. Где стоит точка B

Из \(AB = BD\):

\[x^2 + h^2 = (d - x)^2 + h^2,\]

\[x^2 = (d-x)^2,\qquad x = \frac{d}{2}.\]

То есть \(B\) стоит над серединой \(AD\). Кроме того, \(AB = m\) даёт

\[\frac{d^2}{4} + h^2 = m^2.\]

Шаг 8. Используем диагональ AC

\[AC^2 = \left(\frac{d}{2} + m\right)^2 + h^2 =\]

\[= \frac{d^2}{4} + md + m^2 + h^2.\]

Но \(\dfrac{d^2}{4} + h^2 = m^2\), поэтому

\[AC^2 = 2m^2 + md = 225,\]

\[md = 225 - 2m^2.\]

Шаг 9. Считаем CD

\[CD^2 = \left(d - \frac{d}{2} - m\right)^2 + h^2 =\]

\[= \frac{d^2}{4} - md + m^2 + h^2 =\]

\[= 2m^2 - md.\]

Подставляем \(md\) из шага 8:

\[CD^2 = 2m^2 - \left(225 - 2m^2\right) =\]

\[= 4m^2 - 225.\]

Осталось подставить \(m = 8{,}5\):

\[CD^2 = 4\cdot 72{,}25 - 225 = 289 - 225 = 64,\]

\[CD = 8.\]

Важно! Обратите внимание на формулу \(CD^2 = 4BD^2 - AC^2\): высота \(h\) и основание \(d\) по отдельности не понадобились, они сократились. Это типичный приём — не искать всё подряд, а собирать нужную комбинацию.

Другой взгляд (без координат)

Так как \(BA = BC = BD\), точки \(A\), \(C\), \(D\) лежат на одной окружности с центром \(B\) и радиусом \(BD\). Пусть \(A'\) — точка этой окружности, диаметрально противоположная \(A\).

Тогда \(\angle ACA' = 90^\circ\) (опирается на диаметр), поэтому

\[CA' = \sqrt{AA'^2 - AC^2} = \sqrt{4BD^2 - AC^2}.\]

Кроме того, \(\angle ADA' = 90^\circ\), то есть \(A'D \perp AD\). Прямая \(BC\) параллельна \(AD\) и проходит через середину \(AA'\), поэтому она пересекает отрезок \(A'D\) ровно посередине и перпендикулярно ему — то есть является серединным перпендикуляром к \(A'D\). Значит, \(CD = CA'\), и снова

\[CD = \sqrt{4BD^2 - AC^2} = 8.\]

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(CD = 8\).

Ответ: б) \(CD = 8\)