Идея решения

В прямоугольнике удобно сразу ввести координаты. Тогда «перпендикулярно» — это скалярное произведение, а «равноудалена» — равенство квадратов расстояний. Два условия дадут связь между сторонами, а из неё оба угла окажутся по \(30^\circ\).

Пункт а). Шаг 1. Координаты

Пусть \(AB = p\), \(AD = q\). Поставим прямоугольник так:

\[A(0;\ 0),\quad B(0;\ p),\quad C(q;\ p),\quad D(q;\ 0).\]

Точка \(M\) лежит на стороне \(AD\), значит, \(M(m;\ 0)\), где \(0 < m < q\).

Шаг 2. Условие перпендикулярности

Векторы:

\[\vec{BM} = (m;\ -p),\qquad \vec{AC} = (q;\ p).\]

Перпендикулярность — это равенство нулю скалярного произведения:

\[mq - p^2 = 0,\qquad m = \frac{p^2}{q}.\]

Важно! Скалярное произведение векторов \((x_1;y_1)\) и \((x_2;y_2)\) равно \(x_1x_2 + y_1y_2\). Это самый быстрый способ записать перпендикулярность — без углов и тангенсов.

Шаг 3. Условие MB = MD

\[MB^2 = m^2 + p^2,\qquad MD^2 = (q - m)^2.\]

Приравниваем:

\[m^2 + p^2 = q^2 - 2qm + m^2,\]

\[p^2 = q^2 - 2qm.\]

Подставляем \(m = \dfrac{p^2}{q}\):

\[p^2 = q^2 - 2p^2,\qquad q^2 = 3p^2,\]

\[q = p\sqrt3.\]

Шаг 4. Считаем углы

Треугольник \(ABM\) прямоугольный (угол \(A\) прямой), поэтому

\[\operatorname{tg}\angle ABM = \frac{AM}{AB} = \frac{m}{p} = \frac{p}{q} = \frac{1}{\sqrt3},\]

\[\angle ABM = 30^\circ.\]

Треугольник \(BCD\) тоже прямоугольный (угол \(C\) прямой), и

\[\operatorname{tg}\angle DBC = \frac{CD}{BC} = \frac{p}{q} = \frac{1}{\sqrt3},\]

\[\angle DBC = 30^\circ.\]

Оба угла равны \(30^\circ\), пункт а) доказан.

Важно! В шаге 4 использовано \(m = \dfrac{p^2}{q}\), поэтому \(\dfrac{m}{p} = \dfrac{p}{q}\). Без этой подстановки углы не «схлопнутся».

Пункт б). Шаг 5. Числа

Дано \(BC = 9\), а \(BC = q\), поэтому

\[q = 9,\qquad p = \frac{q}{\sqrt3} = 3\sqrt3,\]

\[m = \frac{p^2}{q} = \frac{27}{9} = 3.\]

Получаем точки:

\[M(3;\ 0),\qquad C\left(9;\ 3\sqrt3\right),\]

а центр прямоугольника \(O\) — середина диагонали \(AC\):

\[O\left(4{,}5;\ \frac{3\sqrt3}{2}\right).\]

Шаг 6. Уравнение прямой CM

Направляющий вектор:

\[\vec{MC} = \left(6;\ 3\sqrt3\right) \sim \left(2;\ \sqrt3\right).\]

Вектор нормали к ней — \(\left(\sqrt3;\ -2\right)\), поэтому прямая \(CM\) задаётся уравнением

\[\sqrt3(x - 3) - 2(y - 0) = 0,\]

\[\sqrt3\,x - 2y - 3\sqrt3 = 0.\]

Шаг 7. Расстояние от точки до прямой

Формула:

\[d = \frac{\left|Ax_0 + By_0 + C\right|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.\]

Подставляем \(A = \sqrt3\), \(B = -2\), \(C = -3\sqrt3\) и точку \(O\):

\[Ax_0 + By_0 + C =\]

\[= \sqrt3\cdot 4{,}5 - 2\cdot\frac{3\sqrt3}{2} - 3\sqrt3 =\]

\[= 4{,}5\sqrt3 - 3\sqrt3 - 3\sqrt3 = -1{,}5\sqrt3.\]

Знаменатель:

\[\sqrt{3 + 4} = \sqrt7.\]

Значит,

\[d = \frac{1{,}5\sqrt3}{\sqrt7} = \frac{3\sqrt3}{2\sqrt7} = \frac{3\sqrt{21}}{14}.\]

Важно! В знаменателе стоит длина вектора нормали \(\sqrt{A^2+B^2}\) — её часто забывают. И не забудьте избавиться от иррациональности в знаменателе: \(\dfrac{3\sqrt3}{2\sqrt7} = \dfrac{3\sqrt{21}}{14}\).

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(d = \dfrac{3\sqrt{21}}{14}\).

Ответ: б) \(\dfrac{3\sqrt{21}}{14}\)