Прямая, проходящая через середину \(M\) гипотенузы \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\), перпендикулярна \(CM\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K\). При этом \(AK : KC = 1 : 2\).
а) Докажите, что \(\angle BAC = 30^\circ\).
б) Пусть прямые \(MK\) и \(BC\) пересекаются в точке \(P\), а прямые \(AP\) и \(BK\) — в точке \(Q\). Найдите \(KQ\), если \(BC = \sqrt{21}\).
Идея решения
Медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы — отсюда сразу появляются равнобедренные треугольники и равные углы. Условие \(AK : KC = 1 : 2\) превратится в уравнение на косинус угла \(A\). Во втором пункте удобнее всего ввести координаты: все точки считаются в две строчки.
Пункт а). Шаг 1. Медиана к гипотенузе
Точка \(M\) — середина гипотенузы \(AB\), а угол \(C\) прямой. По свойству медианы прямоугольного треугольника
\[CM = AM = MB = \frac{AB}{2}.\]
Шаг 2. Равные углы
Треугольник \(AMC\) равнобедренный: \(AM = CM\). Значит, углы при основании \(AC\) равны:
\[\angle ACM = \angle MAC = \alpha,\]
где \(\alpha = \angle BAC\) — искомый угол.
Шаг 3. Прямоугольный треугольник CMK
По условию \(MK \perp CM\), то есть \(\angle CMK = 90^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(CMK\) угол при вершине \(C\) равен \(\alpha\) (это тот самый угол \(\angle ACM\)), а \(CM\) — прилежащий катет. Поэтому
\[CK = \frac{CM}{\cos\alpha}.\]
Важно! Угол треугольника \(CMK\) при вершине \(C\) — это угол \(\angle ACM\), а не весь угол \(C\) (он прямой). Здесь чаще всего и ошибаются.
Шаг 4. Используем отношение
Из \(AK : KC = 1 : 2\) следует, что \(AC\) делится на три равные части и
\[KC = \frac{2}{3}AC.\]
С другой стороны, в прямоугольном треугольнике \(ABC\)
\[AC = AB\cos\alpha = 2CM\cos\alpha.\]
Шаг 5. Уравнение на угол
Приравниваем два выражения для \(KC\):
\[\frac{2}{3}\cdot 2CM\cos\alpha = \frac{CM}{\cos\alpha},\]
\[\frac{4}{3}\cos\alpha = \frac{1}{\cos\alpha},\]
\[\cos^2\alpha = \frac34,\qquad \cos\alpha = \frac{\sqrt3}{2}.\]
Угол \(\alpha\) острый, поэтому
\[\alpha = 30^\circ.\]
Пункт а) доказан.
Пункт б). Шаг 6. Считаем стороны
Теперь \(\angle BAC = 30^\circ\) и \(BC = \sqrt{21}\). В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(BC\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому
\[AB = 2BC = 2\sqrt{21},\]
\[AC = AB\cos 30^\circ = 2\sqrt{21}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \sqrt{63} = 3\sqrt7.\]
Шаг 7. Вводим координаты
Поместим прямой угол в начало координат:
\[C(0;\ 0),\quad A\left(3\sqrt7;\ 0\right),\quad B\left(0;\ \sqrt{21}\right).\]
Тогда
\[M\left(\frac{3\sqrt7}{2};\ \frac{\sqrt{21}}{2}\right)\]
— середина \(AB\), а точка \(K\) лежит на \(AC\) на расстоянии \(KC = \frac23\cdot 3\sqrt7 = 2\sqrt7\) от \(C\):
\[K\left(2\sqrt7;\ 0\right).\]
Шаг 8. Точка P
Направляющий вектор прямой \(MK\):
\[\vec{MK} = \left(2\sqrt7 - \frac{3\sqrt7}{2};\ -\frac{\sqrt{21}}{2}\right) =\]
\[= \left(\frac{\sqrt7}{2};\ -\frac{\sqrt{21}}{2}\right),\]
что пропорционально \(\left(1;\ -\sqrt3\right)\).
Прямая \(BC\) — это ось ординат, то есть \(x = 0\). Идём из \(K\) вдоль направляющего вектора: \(x = 2\sqrt7 + t = 0\) при \(t = -2\sqrt7\), тогда
\[y = -\sqrt3\cdot\left(-2\sqrt7\right) = 2\sqrt{21},\]
\[P\left(0;\ 2\sqrt{21}\right).\]
Важно! Точка \(P\) лежит не на отрезке \(BC\), а на продолжении \(CB\) за точку \(B\): ведь \(CP = 2\sqrt{21} = 2\,CB\), то есть \(B\) — середина \(CP\). В условии сказано «прямые», поэтому так и должно быть — и на чертеже это надо показать.
Шаг 9. Точка Q
Запишем прямые \(AP\) и \(BK\) в отрезках (через точки пересечения с осями).
Прямая \(AP\) проходит через \(A\left(3\sqrt7;\ 0\right)\) и \(P\left(0;\ 2\sqrt{21}\right)\):
\[\frac{x}{3\sqrt7} + \frac{y}{2\sqrt{21}} = 1.\]
Прямая \(BK\) проходит через \(B\left(0;\ \sqrt{21}\right)\) и \(K\left(2\sqrt7;\ 0\right)\):
\[\frac{x}{2\sqrt7} + \frac{y}{\sqrt{21}} = 1.\]
Обозначим \(u = \dfrac{x}{\sqrt7}\), \(v = \dfrac{y}{\sqrt{21}}\). Система становится совсем простой:
\[\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = 1,\qquad \frac{u}{2} + v = 1,\]
\[2u + 3v = 6,\qquad u + 2v = 2.\]
Из второго уравнения \(u = 2 - 2v\), подставляем в первое:
\[2(2 - 2v) + 3v = 6,\]
\[4 - v = 6,\qquad v = -2,\qquad u = 6.\]
Возвращаемся к координатам:
\[Q\left(6\sqrt7;\ -2\sqrt{21}\right).\]
Шаг 10. Считаем KQ
\[KQ^2 = \left(6\sqrt7 - 2\sqrt7\right)^2 + \left(2\sqrt{21}\right)^2 =\]
\[= \left(4\sqrt7\right)^2 + \left(2\sqrt{21}\right)^2 =\]
\[= 112 + 84 = 196,\]
\[KQ = 14.\]
Важно! Точка \(Q\) оказалась вне треугольника — это нормально: прямые \(AP\) и \(BK\) пересекаются за точкой \(A\). Если рисовать «на глаз» и искать точку внутри, задача не сойдётся.
Полезно заметить
Из найденных координат видно ещё два красивых факта: \(A\) — середина \(PQ\), а \(QC = 2AB\). Они помогают быстро проверить себя.
Ответ по пунктам
а) доказано; б) \(KQ = 14\).
Ответ: б) \(KQ = 14\)