Идея решения

Обе окружности построены на отрезках как на диаметрах — а угол, опирающийся на диаметр, прямой. Значит, точки \(M\) и \(N\) — это просто основания перпендикуляров. Дальше посчитаем стороны четырёхугольника \(ABCP\) и увидим, что две пары соседних сторон равны. А в такой четырёхугольник окружность вписывается всегда.

Пункт а). Шаг 1. Высота трапеции

Обозначим \(BC = b\), \(AD = a\) и пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей.

Трапеция равнобедренная, поэтому \(\angle OAD = \angle ODA\), то есть треугольник \(AOD\) равнобедренный. А по условию \(AC \perp BD\), то есть \(\angle AOD = 90^\circ\). Значит, треугольник \(AOD\) — прямоугольный равнобедренный, и его высота из вершины \(O\) равна половине гипотенузы:

\[h_1 = \frac{a}{2}.\]

Точно так же треугольник \(BOC\) прямоугольный равнобедренный, и высота из \(O\) к \(BC\) равна

\[h_2 = \frac{b}{2}.\]

Высота трапеции — это сумма этих двух высот:

\[h = \frac{a+b}{2}.\]

Важно! Запомните этот факт: у равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии, то есть \(\dfrac{a+b}{2}\). Он встречается очень часто и экономит много времени.

Шаг 2. Удобные координаты

Поставим оси так: \(A(0;\ 0)\), \(D(a;\ 0)\), а основание \(BC\) — на высоте \(h\). Из симметрии

\[B\left(\frac{a-b}{2};\ h\right),\qquad C\left(\frac{a+b}{2};\ h\right).\]

Но \(\dfrac{a+b}{2} = h\), поэтому короче:

\[C(h;\ h),\qquad B(h-b;\ h),\qquad D(2h-b;\ 0).\]

Шаг 3. Точка N

Точка \(N\) лежит на окружности с диаметром \(CD\), значит, угол \(\angle CND\), опирающийся на диаметр, прямой:

\[CN \perp AD.\]

То есть \(CN\) — высота трапеции, опущенная из \(C\), и

\[N(h;\ 0),\qquad CN = h,\qquad AN = h.\]

Шаг 4. Точка M

Точка \(M\) лежит на окружности с диаметром \(AD\), значит, \(\angle AMD = 90^\circ\), то есть

\[AM \perp CD.\]

Шаг 5. Находим точку P

Прямая \(CD\) проходит через \(C(h;\ h)\) и \(D(2h-b;\ 0)\), её угловой коэффициент

\[k_{CD} = \frac{0-h}{(2h-b)-h} = -\frac{h}{h-b}.\]

Прямая \(AM\) перпендикулярна \(CD\), поэтому её угловой коэффициент — «минус обратный»:

\[k_{AM} = \frac{h-b}{h},\qquad AM:\ y = \frac{h-b}{h}\,x.\]

Точка \(P\) — пересечение \(AM\) с прямой \(CN\), а \(CN\) — это вертикаль \(x = h\). Подставляем:

\[y = \frac{h-b}{h}\cdot h = h-b,\]

\[P(h;\ h-b).\]

Важно! Перпендикулярные прямые: \(k_1\cdot k_2 = -1\). Если \(k_{CD} = -\dfrac{h}{h-b}\), то \(k_{AM} = \dfrac{h-b}{h}\), а не \(-\dfrac{h-b}{h}\).

Шаг 6. Две пары равных сторон

Считаем стороны четырёхугольника \(ABCP\).

Сторона \(BC\) горизонтальная: \(BC = h - (h-b) = b\).

Сторона \(CP\) вертикальная: \(CP = h - (h-b) = b\).

Значит, \(CB = CP\).

Теперь \(AB\) и \(AP\):

\[AB^2 = (h-b)^2 + h^2,\]

\[AP^2 = h^2 + (h-b)^2.\]

Это одно и то же число, поэтому

\[AB = AP.\]

Шаг 7. Вписанная окружность существует

Проверим признак: в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. У нас

\[AB + CP = AB + b,\]

\[BC + AP = b + AB.\]

Суммы равны, значит, окружность вписать можно. Пункт а) доказан.

Важно! Складывать нужно именно противоположные стороны: \(AB\) с \(CP\) и \(BC\) с \(AP\). Если сложить соседние, признак не работает.

Пункт б). Шаг 8. Площадь четырёхугольника

Разрежем \(ABCP\) диагональю \(AC\) на два треугольника.

Треугольник \(ABC\): основание \(BC = b\) лежит на прямой \(y = h\), а точка \(A\) — на расстоянии \(h\) от этой прямой, поэтому

\[S_{ABC} = \frac{bh}{2}.\]

Треугольник \(ACP\): основание \(CP = b\) лежит на вертикали \(x = h\), а точка \(A\) — на расстоянии \(h\) от неё, поэтому

\[S_{ACP} = \frac{bh}{2}.\]

Итого

\[S_{ABCP} = bh.\]

Шаг 9. Радиус вписанной окружности

Для любого описанного многоугольника

\[S = p\cdot r,\]

где \(p\) — полупериметр. Здесь

\[p = \frac{AB + BC + CP + PA}{2} =\]

\[= \frac{2AB + 2b}{2} = AB + b.\]

Значит,

\[r = \frac{S}{p} = \frac{bh}{AB + b}.\]

Шаг 10. Подставляем числа

Высота:

\[h = \frac{a+b}{2} = \frac{17+7}{2} = 12.\]

Боковая сторона:

\[AB = \sqrt{(h-b)^2 + h^2} =\]

\[= \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13.\]

Площадь и полупериметр:

\[S = bh = 7\cdot 12 = 84,\]

\[p = AB + b = 13 + 7 = 20.\]

Радиус:

\[r = \frac{84}{20} = \frac{21}{5}.\]

Ответ по пунктам

а) доказано; б) \(r = \dfrac{21}{5}\).

Ответ: б) \(r = \dfrac{21}{5}\)