Идея решения

Четыре точки \(B\), \(C\), \(B_1\), \(C_1\) лежат на одной окружности — значит, работает свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Отсюда получится равенство углов и подобие. А радиус окружности найдём через хорду \(BB_1\) и вписанный угол, который на неё опирается.

Пункт а). Шаг 1. Что дано на рисунке

Точка \(C_1\) лежит на стороне \(AB\), точка \(B_1\) — на стороне \(AC\), и все четыре точки \(B\), \(C\), \(B_1\), \(C_1\) лежат на одной окружности. Значит, \(BCB_1C_1\) — вписанный четырёхугольник.

Шаг 2. Равенство углов

У вписанного четырёхугольника \(BCB_1C_1\) углы при вершинах \(B\) и \(B_1\) — противоположные, поэтому

\[\angle C_1BC + \angle C_1B_1C = 180^\circ.\]

Угол \(\angle AB_1C_1\) — смежный с углом \(\angle C_1B_1C\) (точка \(B_1\) лежит между \(A\) и \(C\)), поэтому

\[\angle AB_1C_1 = 180^\circ - \angle C_1B_1C.\]

Сравнивая два равенства, получаем

\[\angle AB_1C_1 = \angle C_1BC = \angle ABC.\]

Шаг 3. Подобие

В треугольниках \(AB_1C_1\) и \(ABC\):

угол \(A\) — общий;

\(\angle AB_1C_1 = \angle ABC\) (шаг 2).

Значит, треугольники подобны по двум углам:

\[\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC.\]

Важно! Следите за порядком вершин: \(A \leftrightarrow A\), \(B_1 \leftrightarrow B\), \(C_1 \leftrightarrow C\). Точка \(B_1\) лежит на стороне \(AC\), но соответствует она вершине \(B\), а не \(C\). Если перепутать, все дальнейшие отношения сторон будут неверными.

Шаг 4. Коэффициент подобия через площади

Обозначим коэффициент подобия

\[k = \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC}.\]

У подобных треугольников площади относятся как квадрат коэффициента:

\[\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2.\]

Четырёхугольник \(BCB_1C_1\) — это треугольник \(ABC\) без треугольника \(AB_1C_1\):

\[S_{ABC} = S_{AB_1C_1} + S_{BCB_1C_1}.\]

По условию \(S_{BCB_1C_1} = 8\,S_{AB_1C_1}\), поэтому

\[S_{ABC} = S_{AB_1C_1} + 8\,S_{AB_1C_1} = 9\,S_{AB_1C_1},\]

\[k^2 = \frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{1}{9},\qquad k = \frac{1}{3}.\]

Важно! «В восемь раз меньше» — это сравнение с четырёхугольником, а не с треугольником \(ABC\). Сначала соберите площадь всего треугольника: она в \(9\) раз больше маленького. Это самая частая ошибка в таком пункте.

Шаг 5. Находим сторону \(BC\)

Из коэффициента подобия \(k = \dfrac{B_1C_1}{BC}\) получаем

\[BC = \frac{B_1C_1}{k} = 6\cdot 3 = 18.\]

Шаг 6. Хорда \(BB_1\)

Теперь радиус. Возьмём хорду \(BB_1\) данной окружности: точки \(B\) и \(B_1\) на ней лежат.

Из подобия \(AB_1 = k\cdot AB\). В треугольнике \(ABB_1\) известны две стороны \(AB\) и \(AB_1 = k\cdot AB\) и угол \(A\) между ними. По теореме косинусов

\[BB_1^2 = AB^2 + k^2AB^2 -\]

\[-\ 2\cdot AB\cdot kAB\cos A,\]

\[BB_1 = AB\sqrt{1 + k^2 - 2k\cos A}.\]

Шаг 7. Вписанный угол, опирающийся на \(BB_1\)

Точка \(C\) лежит на той же окружности, поэтому \(\angle BCB_1\) — вписанный угол, опирающийся на хорду \(BB_1\). А так как \(B_1\) лежит на отрезке \(AC\), этот угол совпадает с углом \(C\) треугольника \(ABC\):

\[\angle BCB_1 = \angle BCA = \gamma.\]

По теореме синусов для окружности радиуса \(R\)

\[BB_1 = 2R\sin\gamma,\qquad 2R = \frac{BB_1}{\sin\gamma}.\]

Важно! Здесь \(R\) — радиус данной окружности (через \(B\), \(C\), \(B_1\), \(C_1\)), а не описанной около \(ABC\). Это разные окружности, не путайте их.

Шаг 8. Убираем неизвестный угол \(\gamma\)

Угол \(\gamma\) нам не дан, но его можно убрать. По теореме синусов в треугольнике \(ABC\)

\[\frac{AB}{\sin\gamma} = \frac{BC}{\sin A}.\]

Подставим \(BB_1 = AB\sqrt{1+k^2-2k\cos A}\):

\[2R = \frac{AB}{\sin\gamma}\sqrt{1+k^2-2k\cos A},\]

\[2R = \frac{BC}{\sin A}\sqrt{1+k^2-2k\cos A}.\]

Все величины справа известны.

Шаг 9. Считаем радиус

Подставляем \(A = 45^\circ\), \(k = \dfrac13\), \(BC = 18\).

Сначала подкоренное выражение:

\[1 + k^2 - 2k\cos 45^\circ =\]

\[= 1 + \frac19 - 2\cdot\frac13\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\]

\[= \frac{10}{9} - \frac{\sqrt2}{3} = \frac{10 - 3\sqrt2}{9}.\]

Теперь радиус (\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt2}{2}\)):

\[2R = \frac{18}{\tfrac{\sqrt2}{2}}\cdot\sqrt{\frac{10-3\sqrt2}{9}} =\]

\[= 18\sqrt2\cdot\frac{\sqrt{10-3\sqrt2}}{3} =\]

\[= 6\sqrt2\cdot\sqrt{10-3\sqrt2} = 6\sqrt{20-6\sqrt2},\]

\[R = 3\sqrt{20-6\sqrt2}.\]

Ответ по пунктам

\(BC = 18\), \(R = 3\sqrt{20-6\sqrt2}\).

Ответ: б) \(BC = 18\), \(R = 3\sqrt{20-6\sqrt2}\)