Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\) и пересекает \(AB\) и \(AC\) в точках \(C_1\) и \(B_1\) соответственно.
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(AB_1C_1\).
б) Вычислите длину стороны \(BC\) и радиус данной окружности, если \(\angle A = 30^\circ\), \(B_1C_1 = 5\) и площадь треугольника \(AB_1C_1\) в пять раз меньше площади четырёхугольника \(BCB_1C_1\).
Идея решения
Четыре точки \(B\), \(C\), \(B_1\), \(C_1\) лежат на одной окружности — значит, работает свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Отсюда получится равенство углов и подобие. А радиус окружности найдём через хорду \(BB_1\) и вписанный угол, который на неё опирается.
Пункт а). Шаг 1. Что дано на рисунке
Точка \(C_1\) лежит на стороне \(AB\), точка \(B_1\) — на стороне \(AC\), и все четыре точки \(B\), \(C\), \(B_1\), \(C_1\) лежат на одной окружности. Значит, \(BCB_1C_1\) — вписанный четырёхугольник.
Шаг 2. Равенство углов
У вписанного четырёхугольника \(BCB_1C_1\) углы при вершинах \(B\) и \(B_1\) — противоположные, поэтому
\[\angle C_1BC + \angle C_1B_1C = 180^\circ.\]
Угол \(\angle AB_1C_1\) — смежный с углом \(\angle C_1B_1C\) (точка \(B_1\) лежит между \(A\) и \(C\)), поэтому
\[\angle AB_1C_1 = 180^\circ - \angle C_1B_1C.\]
Сравнивая два равенства, получаем
\[\angle AB_1C_1 = \angle C_1BC = \angle ABC.\]
Шаг 3. Подобие
В треугольниках \(AB_1C_1\) и \(ABC\):
угол \(A\) — общий;
\(\angle AB_1C_1 = \angle ABC\) (шаг 2).
Значит, треугольники подобны по двум углам:
\[\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC.\]
Важно! Следите за порядком вершин: \(A \leftrightarrow A\), \(B_1 \leftrightarrow B\), \(C_1 \leftrightarrow C\). Точка \(B_1\) лежит на стороне \(AC\), но соответствует она вершине \(B\), а не \(C\). Если перепутать, все дальнейшие отношения сторон будут неверными.
Шаг 4. Коэффициент подобия через площади
Обозначим коэффициент подобия
\[k = \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC}.\]
У подобных треугольников площади относятся как квадрат коэффициента:
\[\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2.\]
Четырёхугольник \(BCB_1C_1\) — это треугольник \(ABC\) без треугольника \(AB_1C_1\):
\[S_{ABC} = S_{AB_1C_1} + S_{BCB_1C_1}.\]
По условию \(S_{BCB_1C_1} = 5\,S_{AB_1C_1}\), поэтому
\[S_{ABC} = S_{AB_1C_1} + 5\,S_{AB_1C_1} = 6\,S_{AB_1C_1},\]
\[k^2 = \frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{1}{6},\qquad k = \frac{1}{\sqrt6}.\]
Важно! «В пять раз меньше» — это сравнение с четырёхугольником, а не с треугольником \(ABC\). Сначала соберите площадь всего треугольника: она в \(6\) раз больше маленького. Это самая частая ошибка в таком пункте.
Шаг 5. Находим сторону \(BC\)
Из коэффициента подобия \(k = \dfrac{B_1C_1}{BC}\) получаем
\[BC = \frac{B_1C_1}{k} = 5\sqrt6.\]
Шаг 6. Хорда \(BB_1\)
Теперь радиус. Возьмём хорду \(BB_1\) данной окружности: точки \(B\) и \(B_1\) на ней лежат.
Из подобия \(AB_1 = k\cdot AB\). В треугольнике \(ABB_1\) известны две стороны \(AB\) и \(AB_1 = k\cdot AB\) и угол \(A\) между ними. По теореме косинусов
\[BB_1^2 = AB^2 + k^2AB^2 -\]
\[-\ 2\cdot AB\cdot kAB\cos A,\]
\[BB_1 = AB\sqrt{1 + k^2 - 2k\cos A}.\]
Шаг 7. Вписанный угол, опирающийся на \(BB_1\)
Точка \(C\) лежит на той же окружности, поэтому \(\angle BCB_1\) — вписанный угол, опирающийся на хорду \(BB_1\). А так как \(B_1\) лежит на отрезке \(AC\), этот угол совпадает с углом \(C\) треугольника \(ABC\):
\[\angle BCB_1 = \angle BCA = \gamma.\]
По теореме синусов для окружности радиуса \(R\)
\[BB_1 = 2R\sin\gamma,\qquad 2R = \frac{BB_1}{\sin\gamma}.\]
Важно! Здесь \(R\) — радиус данной окружности (через \(B\), \(C\), \(B_1\), \(C_1\)), а не описанной около \(ABC\). Это разные окружности, не путайте их.
Шаг 8. Убираем неизвестный угол \(\gamma\)
Угол \(\gamma\) нам не дан, но его можно убрать. По теореме синусов в треугольнике \(ABC\)
\[\frac{AB}{\sin\gamma} = \frac{BC}{\sin A}.\]
Подставим \(BB_1 = AB\sqrt{1+k^2-2k\cos A}\):
\[2R = \frac{AB}{\sin\gamma}\sqrt{1+k^2-2k\cos A},\]
\[2R = \frac{BC}{\sin A}\sqrt{1+k^2-2k\cos A}.\]
Все величины справа известны.
Шаг 9. Считаем радиус
Подставляем \(A = 30^\circ\), \(k = \dfrac{1}{\sqrt6}\), \(BC = 5\sqrt6\).
Сначала подкоренное выражение:
\[1 + k^2 - 2k\cos 30^\circ =\]
\[= 1 + \frac16 - 2\cdot\frac{1}{\sqrt6}\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\]
\[= \frac76 - \frac{\sqrt3}{\sqrt6} = \frac76 - \frac{\sqrt2}{2} = \frac{7 - 3\sqrt2}{6}.\]
Теперь сам радиус (\(\sin 30^\circ = \frac12\)):
\[2R = \frac{5\sqrt6}{\tfrac12}\cdot\sqrt{\frac{7-3\sqrt2}{6}} =\]
\[= 10\sqrt6\cdot\frac{\sqrt{7-3\sqrt2}}{\sqrt6} = 10\sqrt{7-3\sqrt2},\]
\[R = 5\sqrt{7-3\sqrt2}.\]
Ответ по пунктам
\(BC = 5\sqrt6\), \(R = 5\sqrt{7-3\sqrt2}\).
Ответ: б) \(BC = 5\sqrt6\), \(R = 5\sqrt{7-3\sqrt2}\)