Идея решения

Первое уравнение не содержит параметра — нарисуем множество его решений на плоскости \(xOy\). Второе уравнение \(y = -x + a\) задаёт прямую с наклоном \(-1\), которая при изменении \(a\) сдвигается параллельно самой себе. Будем двигать её и считать общие точки.

Шаг 1. Область допустимых значений

Под корнем в числителе: \(x - 4 \geqslant 0\), то есть

\[x \geqslant 4.\]

Корень в знаменателе должен существовать и не равняться нулю: \(y + 7 > 0\), то есть

\[y > -7.\]

Важно! Условие для знаменателя строгое: \(y > -7\), а не \(y \geqslant -7\). Из-за этого точки на прямой \(y = -7\) выколоты, и это напрямую влияет на ответ.

Шаг 2. Когда дробь равна нулю

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (на ОДЗ). Числитель — произведение, так что нулю равен хотя бы один множитель:

\[y^2 - 7y + xy - 4x + 12 = 0\]

или

\[\sqrt{x - 4} = 0.\]

Разложим первое выражение на множители группировкой:

\[y^2 - 4y - 3y + 12 + xy - 4x =\]

\[= y(y - 4) - 3(y - 4) + x(y - 4) =\]

\[= (y - 4)(x + y - 3).\]

Итак, первое уравнение системы задают точки с \(x \geqslant 4\), \(y > -7\), лежащие хотя бы на одной из линий:

\[y = 4,\qquad y = 3 - x,\qquad x = 4.\]

Важно! Не теряйте множитель \(\sqrt{x - 4}\): он тоже может обращаться в ноль. Равенство \(\sqrt{x-4} = 0\) даёт целую вертикальную линию \(x = 4\) решений — без неё ответ получится совсем другим.

Шаг 3. Рисуем множество

С учётом \(x \geqslant 4\) и \(y > -7\) получаются три куска:

луч \(y = 4\) при \(x \geqslant 4\) — начинается в точке \((4;\ 4)\) и идёт вправо;

отрезок \(y = 3 - x\) при \(4 \leqslant x < 10\) — от точки \((4;\ -1)\) до точки \((10;\ -7)\), которая выколота (там \(y = -7\));

луч \(x = 4\) при \(y > -7\) — идёт вверх от выколотой точки \((4;\ -7)\).

Шаг 4. Двигаем прямую \(y = -x + a\)

Посмотрим, где прямая встречает каждый кусок.

Вертикальный луч \(x = 4\): подставляем \(x = 4\), получаем \(y = a - 4\). Точка лежит на луче, когда \(a - 4 > -7\), то есть при \(a > -3\). Это одна точка.

Отрезок \(y = 3 - x\): он параллелен нашей прямой. При \(a \ne 3\) общих точек нет, а при \(a = 3\) прямая содержит весь отрезок — бесконечно много точек.

Горизонтальный луч \(y = 4\): подставляем \(y = 4\), получаем \(x = a - 4\). Точка лежит на луче, когда \(a - 4 \geqslant 4\), то есть при \(a \geqslant 8\).

Граничные положения прямой:

I: через выколотую точку \((4;\ -7)\), \(a = -3\);

II: совпадает с прямой \(y = 3 - x\), \(a = 3\);

III: через угловую точку \((4;\ 4)\), \(a = 8\).

Шаг 5. Считаем решения

При \(a \leqslant -3\) — решений нет: прямая проходит ниже выколотой точки \((4;\ -7)\) или через неё.

При \(-3 < a < 3\) — одно решение на луче \(x = 4\).

При \(a = 3\) — бесконечно много решений.

При \(3 < a < 8\) — одно решение на луче \(x = 4\).

При \(a = 8\) — точки на двух лучах совпадают: это одна точка \((4;\ 4)\). Одно решение.

При \(a > 8\) — два решения: \((4;\ a - 4)\) и \((a - 4;\ 4)\).

Важно! При \(a = 8\) прямая задевает оба луча, но в одной и той же точке \((4;\ 4)\). Решение одно, поэтому \(a = 8\) входит в ответ. А \(a = -3\) не входит: точка \((4;\ -7)\) выколота.

Шаг 6. Ответ

\[a \in (-3;\ 3) \cup (3;\ 8].\]

Ответ: \(a \in (-3;\ 3) \cup (3;\ 8]\)