Идея решения

Параметр везде входит в виде \(a - 3\) — обозначим его одной буквой \(b\). Слева получится «гладкая чашка» \(x^4 + b^2\), справа — «корыто» из модулей. Обе функции чётные, поэтому точки пересечения, кроме \(x = 0\), идут парами. Надо понять, когда пересечений не больше одного.

Шаг 1. Замена \(b = a - 3\)

Так как \(x - a + 3 = x - b\) и \(x + a - 3 = x + b\), уравнение принимает вид

\[x^4 + b^2 = |x - b| + |x + b|.\]

Обозначим

\[f(x) = x^4 + b^2,\]

\[g(x) = |x - b| + |x + b|.\]

Шаг 2. Достаточно рассмотреть \(b \geqslant 0\)

Если заменить \(b\) на \(-b\), то \(b^2\) не изменится, а модули \(|x - b|\) и \(|x + b|\) просто поменяются местами. Уравнение останется тем же. Поэтому решим задачу при \(b \geqslant 0\), а потом добавим противоположные значения.

Шаг 3. Графики \(f\) и \(g\)

Функция \(f(x) = x^4 + b^2\) чётная, её наименьшее значение \(b^2\) при \(x = 0\).

Функцию \(g\) раскроем при \(b \geqslant 0\):

при \(x \leqslant -b\): \(g(x) = -2x\);

при \(-b \leqslant x \leqslant b\): \(g(x) = 2b\);

при \(x \geqslant b\): \(g(x) = 2x\).

Это «корыто» с плоским дном на высоте \(2b\). Ветви лежат на прямых \(y = -2x\) и \(y = 2x\).

Обе функции чётные: \(f(-x) = f(x)\) и \(g(-x) = g(x)\). Значит, если \(x_0 \ne 0\) — решение, то и \(-x_0\) — решение. Решений не больше одного бывает, только если нет ни одного решения с \(x \ne 0\).

Шаг 4. Случай \(b = 0\)

Уравнение: \(x^4 = 2|x|\). Корень \(x = 0\) подходит. При \(x \ne 0\) делим на \(|x|\):

\[|x|^3 = 2,\]

\[x = \pm\sqrt[3]{2}.\]

Три решения — \(b = 0\) не подходит.

Шаг 5. Случай \(0 < b < 2\)

Сравним низ чашки \(b^2\) и дно корыта \(2b\):

\[b^2 < 2b,\]

\[b(b - 2) < 0,\]

\[0 < b < 2.\]

Значит, при \(0 < b < 2\) в точке \(x = 0\) чашка ниже корыта: \(f(0) < g(0)\).

А при больших \(x\) чашка выше: например, при \(x = 2\)

\[f(2) = 16 + b^2 > 4 = g(2).\]

Функция \(f - g\) непрерывна и на отрезке \([0;\ 2]\) меняет знак с минуса на плюс, значит, обращается в ноль в некоторой точке \(x_0 \in (0;\ 2)\). По чётности \(-x_0\) — тоже решение. Решений не меньше двух, такие \(b\) не подходят.

Шаг 6. Случай \(b \geqslant 2\)

Покажем, что при \(x \ne 0\) всегда \(f(x) > g(x)\). По чётности достаточно взять \(x > 0\).

Если \(0 < x \leqslant b\), то \(g(x) = 2b\), и так как \(b \geqslant 2\),

\[f(x) = x^4 + b^2 > b^2 \geqslant 2b = g(x).\]

(Здесь \(b^2 \geqslant 2b\) потому, что \(b \geqslant 2\).)

Если \(x > b\), то \(g(x) = 2x\), и так как \(x > b \geqslant 2\), имеем \(x^3 > 8 > 2\), то есть \(x^4 > 2x\). Тогда

\[f(x) = x^4 + b^2 > x^4 > 2x = g(x).\]

Итак, при \(x \ne 0\) решений нет. Остаётся \(x = 0\): \(f(0) = b^2\), \(g(0) = 2b\), и равенство \(b^2 = 2b\) при \(b \geqslant 2\) выполняется только при \(b = 2\).

При \(b = 2\) — ровно одно решение \(x = 0\):

При \(b > 2\) — решений нет:

Оба варианта подходят по условию.

Важно! В условии сказано «ровно одно решение или не имеет решений вовсе». Значения, при которых решений нет, тоже входят в ответ — их часто забывают.

Шаг 7. Возвращаемся к \(a\)

При \(b \geqslant 0\) подходят \(b \geqslant 2\). Добавляем противоположные значения:

\[b \leqslant -2\ \text{ или }\ b \geqslant 2.\]

Так как \(b = a - 3\):

\[a - 3 \leqslant -2\ \text{ или }\ a - 3 \geqslant 2,\]

\[a \leqslant 1\ \text{ или }\ a \geqslant 5.\]

Шаг 8. Ответ

\[a \in (-\infty;\ 1] \cup [5;\ +\infty).\]

Ответ: \(a \in (-\infty;\ 1] \cup [5;\ +\infty)\)