Идея решения

Присмотритесь: \(x^{10} = \left(x^2\right)^5\), и рядом стоит \(x^2\). А рядом с \(\left(a - 2|x|\right)^5\) стоит \(a - 2|x|\). Уравнение имеет вид «\(u^5 + u\) = \(v^5 + v\)». Функция \(t^5 + t\) возрастает, поэтому такое равенство возможно только при \(u = v\). Сложное уравнение превращается в простое.

Шаг 1. Перегруппировка

Оставим слева слагаемые с \(x^2\), остальное перенесём вправо:

\[x^{10} + x^2 =\]

\[= -\left(a - 2|x|\right)^5 - (a - 2|x|).\]

Минус можно внести внутрь пятой степени, ведь степень нечётная: \(-\left(a - 2|x|\right)^5 = \left(2|x| - a\right)^5\). Получаем

\[\left(x^2\right)^5 + x^2 =\]

\[= \left(2|x| - a\right)^5 + \left(2|x| - a\right).\]

Шаг 2. Монотонная функция

Рассмотрим функцию

\[f(t) = t^5 + t.\]

Обе функции \(t^5\) и \(t\) возрастают на всей прямой, значит, их сумма \(f(t)\) тоже строго возрастает. Уравнение из шага 1 — это

\[f\left(x^2\right) = f\left(2|x| - a\right).\]

Строго возрастающая функция принимает каждое значение только один раз. Поэтому значения равны тогда и только тогда, когда равны аргументы:

\[x^2 = 2|x| - a.\]

Важно! Переход \(f(u) = f(v) \Leftrightarrow u = v\) нужно обязательно обосновать: написать, что \(f\) строго возрастает, и почему. Без этого решение не засчитывают.

Шаг 3. Уравнение для параметра

Перепишем:

\[x^2 - 2|x| = -a.\]

Слева функция \(g(x) = x^2 - 2|x|\) без параметра, справа — горизонтальная прямая \(y = -a\). Число решений — это число общих точек графика \(g\) и прямой.

Шаг 4. График \(g(x) = x^2 - 2|x|\)

При \(x \geqslant 0\):

\[g(x) = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1.\]

При \(x < 0\):

\[g(x) = x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1.\]

Это две половинки парабол с вершинами \((1;\ -1)\) и \((-1;\ -1)\), склеенные в точке \((0;\ 0)\). График похож на букву W. Нули функции: \(x = 0\) и \(x = \pm 2\).

Шаг 5. Двигаем прямую \(y = -a\)

При \(-a < -1\) прямая ниже вершин — решений нет.

При \(-a = -1\) прямая проходит через вершины — два решения \(x = \pm 1\).

При \(-1 < -a < 0\) прямая пересекает каждую из двух «ям» дважды — четыре решения.

При \(-a = 0\) прямая проходит через склейку \((0;\ 0)\) — три решения: \(x = 0\) и \(x = \pm 2\).

При \(-a > 0\) прямая пересекает только внешние ветви — два решения.

Важно! Положение через «склейку» \((0;\ 0)\) даёт ровно три решения, а по условию нужно более трёх. Значение \(a = 0\) в ответ не входит.

Шаг 6. Ответ

Более трёх решений (а именно четыре) получается при

\[-1 < -a < 0,\]

\[0 < a < 1.\]

\[a \in (0;\ 1).\]

Ответ: \(a \in (0;\ 1)\)