Идея решения

Выражение в скобках повторяется — делаем замену. После раскрытия модулей окажется, что график новой переменной всегда устроен одинаково: горизонтальная полочка на высоте \(-1\), а потом строгий рост. Отсюда ясно, какие корни квадратного уравнения нам нужны.

Шаг 1. Замена

Пусть

\[t = 3x + |x - a| + |2x + a + 1|.\]

Уравнение принимает вид

\[t^2 + at + a^2 - 16 = 0.\]

Шаг 2. Порядок точек смены знака

Модули меняют знак в точках

\[x = a\quad\text{и}\quad x = -\frac{a+1}{2}.\]

Какая из них левее, зависит от \(a\):

\[a \leqslant -\frac{a+1}{2},\]

\[2a \leqslant -a - 1,\]

\[a \leqslant -\frac13.\]

Итак, при \(a \leqslant -\frac13\) левее точка \(a\), а при \(a \geqslant -\frac13\) — точка \(-\frac{a+1}{2}\).

Шаг 3. Раскрываем модули при \(a \geqslant -\frac13\)

Тогда \(-\frac{a+1}{2} \leqslant a\).

При \(x \leqslant -\frac{a+1}{2}\): \(|x - a| = a - x\), \(|2x + a + 1| = -2x - a - 1\), и

\[t = 3x + a - x - 2x - a - 1 = -1.\]

При \(-\frac{a+1}{2} \leqslant x \leqslant a\): \(|x - a| = a - x\), \(|2x + a + 1| = 2x + a + 1\), и

\[t = 3x + a - x + 2x + a + 1,\]

\[t = 4x + 2a + 1.\]

При \(x \geqslant a\): оба модуля с плюсом, и

\[t = 3x + x - a + 2x + a + 1,\]

\[t = 6x + 1.\]

Шаг 4. Раскрываем модули при \(a < -\frac13\)

Тогда \(a < -\frac{a+1}{2}\).

При \(x \leqslant a\): оба модуля с минусом, и

\[t = 3x + a - x - 2x - a - 1 = -1.\]

При \(a \leqslant x \leqslant -\frac{a+1}{2}\): \(|x - a| = x - a\), \(|2x + a + 1| = -2x - a - 1\), и

\[t = 3x + x - a - 2x - a - 1,\]

\[t = 2x - 2a - 1.\]

При \(x \geqslant -\frac{a+1}{2}\): оба модуля с плюсом, и снова

\[t = 6x + 1.\]

Шаг 5. Сколько \(x\) даёт одно значение \(t\)

В обоих случаях картина одинаковая: слева полочка \(t = -1\), дальше участки с положительными угловыми коэффициентами (\(4\) и \(6\) или \(2\) и \(6\)), без разрывов.

Поэтому:

при \(t < -1\) — ни одного \(x\);

при \(t = -1\) — бесконечно много \(x\);

при \(t > -1\) — ровно одно \(x\).

Важно! Порядок точек \(a\) и \(-\frac{a+1}{2}\) зависит от параметра, поэтому модули нужно раскрыть в обоих случаях. Только после этого можно утверждать, что картина всегда одна и та же.

Шаг 6. Условия на квадратное уравнение

Пусть \(f(t) = t^2 + at + a^2 - 16\). Каждый корень \(t > -1\) даёт одно решение, корень \(t = -1\) — бесконечно много, корень \(t < -1\) — ни одного. Значит, нужен ровно один корень больше \(-1\) и ни одного корня, равного \(-1\).

Это бывает в двух вариантах:

1) корней два, и число \(-1\) лежит строго между ними;

2) корень один (двойной), и он больше \(-1\).

Шаг 7. Вариант 1: \(-1\) между корнями

Ветви параболы \(f(t)\) направлены вверх, поэтому условие равносильно \(f(-1) < 0\):

\[1 - a + a^2 - 16 < 0,\]

\[a^2 - a - 15 < 0.\]

Корни трёхчлена \(a^2 - a - 15\):

\[a = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{2}.\]

Значит,

\[\frac{1 - \sqrt{61}}{2} < a < \frac{1 + \sqrt{61}}{2}.\]

Шаг 8. Вариант 2: один корень

Дискриминант равен нулю:

\[a^2 - 4\left(a^2 - 16\right) = 0,\]

\[3a^2 = 64,\]

\[a = \pm\frac{8}{\sqrt3}.\]

Двойной корень равен \(t_0 = -\frac{a}{2}\).

При \(a = \frac{8}{\sqrt3}\): \(t_0 = -\frac{4}{\sqrt3} \approx -2{,}31 < -1\) — решений нет, не подходит.

При \(a = -\frac{8}{\sqrt3}\): \(t_0 = \frac{4}{\sqrt3} > -1\) — ровно одно решение, подходит.

Это значение не входит в промежуток из шага 7: \(-\frac{8}{\sqrt3} \approx -4{,}62\), а \(\frac{1 - \sqrt{61}}{2} \approx -3{,}41\).

Важно! Случай двойного корня легко пропустить, а он даёт отдельную точку в ответе. Её обязательно записывают фигурной скобкой.

Шаг 9. Ответ

\[a \in \left(\frac{1 - \sqrt{61}}{2};\ \frac{1 + \sqrt{61}}{2}\right) \cup\]

\[\cup \left\{-\frac{8}{\sqrt3}\right\}.\]

Ответ: \(a \in \left(\frac{1 - \sqrt{61}}{2};\ \frac{1 + \sqrt{61}}{2}\right) \cup \left\{-\frac{8}{\sqrt3}\right\}\)