Идея решения

В уравнение \(x\) входит только через \(x^4\) и \(\cos\frac{x}{2}\) — обе функции чётные. Значит, решения ходят парами \(x\) и \(-x\), и единственное решение может быть только \(x = 0\). Это даёт кандидатов для \(a\), которые потом обязательно проверяем.

Шаг 1. Решения ходят парами

Пусть \(x_0\) — решение. Подставим \(-x_0\):

\[(-x_0)^4 = x_0^4,\]

\[\cos\frac{-x_0}{2} = \cos\frac{x_0}{2}.\]

Обе части уравнения не изменились, значит, \(-x_0\) — тоже решение. Если \(x_0 \ne 0\), это другое число, и решений уже два. Поэтому единственным решением может быть только

\[x_0 = 0.\]

Важно! Это необходимое условие, а не достаточное. Из него получаются только кандидаты для \(a\), и каждого нужно проверить.

Шаг 2. Находим кандидатов

Подставим \(x = 0\). Так как \(\sqrt[4]{a^4} = |a|\) и \(\cos 0 = 1\):

\[|a| = 1 + a^2 - 2a + 1,\]

\[|a| = a^2 - 2a + 2.\]

Важно! \(\sqrt[4]{a^4} = |a|\), а не \(a\). Если забыть модуль, можно потерять или приобрести лишние значения.

При \(a \geqslant 0\):

\[a = a^2 - 2a + 2,\]

\[a^2 - 3a + 2 = 0,\]

\[(a - 1)(a - 2) = 0,\]

\[a = 1\ \text{ или }\ a = 2.\]

При \(a < 0\):

\[-a = a^2 - 2a + 2,\]

\[a^2 - a + 2 = 0.\]

Дискриминант \(1 - 8 < 0\) — корней нет.

Итак, кандидаты: \(a = 1\) и \(a = 2\).

Шаг 3. Проверка \(a = 1\)

Уравнение принимает вид

\[\sqrt[4]{1 + x^4} = \cos\frac{x}{2}.\]

Оценим обе части. Так как \(x^4 \geqslant 0\),

\[\sqrt[4]{1 + x^4} \geqslant 1.\]

А косинус не больше единицы:

\[\cos\frac{x}{2} \leqslant 1.\]

Левая часть не меньше 1, правая не больше 1. Равенство возможно, только если обе части равны 1. Левая равна 1 только при \(x^4 = 0\), то есть при \(x = 0\). При \(x = 0\) и правая часть равна \(\cos 0 = 1\). Решение ровно одно: \(x = 0\).

Значит, \(a = 1\) подходит.

Шаг 4. Проверка \(a = 2\)

Уравнение принимает вид

\[\sqrt[4]{16 + x^4} = \cos\frac{x}{2} + 1.\]

Снова оцениваем:

\[\sqrt[4]{16 + x^4} \geqslant \sqrt[4]{16} = 2,\]

\[\cos\frac{x}{2} + 1 \leqslant 2.\]

Равенство возможно, только если обе части равны 2. Левая равна 2 только при \(x = 0\), а при \(x = 0\) правая равна \(1 + 1 = 2\). Решение ровно одно: \(x = 0\).

Значит, \(a = 2\) подходит.

Важно! Метод оценки («левая часть не меньше \(m\), правая не больше \(m\)») — главный инструмент проверки в задачах на чётность. Запишите обе оценки явно, одних слов «графики касаются» недостаточно.

Шаг 5. Ответ

\[a \in \{1;\ 2\}.\]

Ответ: \(a \in \{1;\ 2\}\)